Номер 696, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 696, страница 200.
№696 (с. 200)
Условие. №696 (с. 200)
скриншот условия

696. Выразите через функции угла $\alpha$:
а) $\sin 2\alpha$
б) $\cos 2\alpha$
в) $\operatorname{tg} 2\alpha$
Решение. №696 (с. 200)

Решение 2 (rus). №696 (с. 200)
а) Для выражения синуса двойного угла используется формула, которая выводится из формулы синуса суммы двух углов $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $. Полагая $ \beta = \alpha $, мы получаем формулу синуса двойного угла:
$ \sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $
Эта формула выражает синус двойного угла через произведение синуса и косинуса угла $ \alpha $.
Ответ: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $
б) Для косинуса двойного угла существует три основные, эквивалентные друг другу, формулы. Основная формула выводится из формулы косинуса суммы двух углов $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $. Полагая $ \beta = \alpha $, получаем:
$ \cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, можно получить еще две формы этой формулы:
1. Выразим $ \sin^2\alpha $ через $ \cos^2\alpha $ ($ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $):
$ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $
2. Выразим $ \cos^2\alpha $ через $ \sin^2\alpha $ ($ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $):
$ \cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $
Таким образом, косинус двойного угла можно выразить через разность квадратов косинуса и синуса, только через квадрат косинуса или только через квадрат синуса.
Ответ: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha $
в) Формулу для тангенса двойного угла можно вывести из формулы тангенса суммы $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} $, подставив $ \beta = \alpha $:
$ \operatorname{tg}(2\alpha) = \operatorname{tg}(\alpha + \alpha) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\alpha} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $
Другой способ — это использовать определение тангенса как отношения синуса к косинусу и уже известные формулы для $ \sin(2\alpha) $ и $ \cos(2\alpha) $:
$ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} $
Разделив числитель и знаменатель на $ \cos^2\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $), получим ту же самую формулу:
$ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $
Эта формула выражает тангенс двойного угла через тангенс угла $ \alpha $.
Ответ: $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 696 расположенного на странице 200 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №696 (с. 200), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.