Номер 696, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 696, страница 200.

Условие.

696. Выразите через функции угла $\alpha$:

а) $\sin 2\alpha$

б) $\cos 2\alpha$

в) $\operatorname{tg} 2\alpha$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для выражения синуса двойного угла используется формула, которая выводится из формулы синуса суммы двух углов $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $. Полагая $ \beta = \alpha $, мы получаем формулу синуса двойного угла:

$ \sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $

Эта формула выражает синус двойного угла через произведение синуса и косинуса угла $ \alpha $.

Ответ: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $

б) Для косинуса двойного угла существует три основные, эквивалентные друг другу, формулы. Основная формула выводится из формулы косинуса суммы двух углов $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $. Полагая $ \beta = \alpha $, получаем:

$ \cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, можно получить еще две формы этой формулы:

1. Выразим $ \sin^2\alpha $ через $ \cos^2\alpha $ ($ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $):

$ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $

2. Выразим $ \cos^2\alpha $ через $ \sin^2\alpha $ ($ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $):

$ \cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $

Таким образом, косинус двойного угла можно выразить через разность квадратов косинуса и синуса, только через квадрат косинуса или только через квадрат синуса.

Ответ: $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha $

в) Формулу для тангенса двойного угла можно вывести из формулы тангенса суммы $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} $, подставив $ \beta = \alpha $:

$ \operatorname{tg}(2\alpha) = \operatorname{tg}(\alpha + \alpha) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\alpha} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $

Другой способ — это использовать определение тангенса как отношения синуса к косинусу и уже известные формулы для $ \sin(2\alpha) $ и $ \cos(2\alpha) $:

$ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} $

Разделив числитель и знаменатель на $ \cos^2\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $), получим ту же самую формулу:

$ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $

Эта формула выражает тангенс двойного угла через тангенс угла $ \alpha $.

Ответ: $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} $