Номер 689, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 689, страница 199.

Условие.

689. Дано: $cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $cos \beta = \frac{1}{3}$, $\alpha$ и $\beta$ – углы IV четверти. Вычислите:

а) $sin(\alpha - \beta);$

б) $cos(\alpha + \beta);$

в) $tg(\alpha + \beta).$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи нам понадобятся значения синусов углов $\alpha$ и $\beta$.

Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат IV четверти, их косинусы положительны (что соответствует условию), а синусы отрицательны.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, откуда $sin(x) = \pm\sqrt{1 - cos^2(x)}$.

1. Найдем $sin(\alpha)$:

$sin(\alpha) = -\sqrt{1 - cos^2(\alpha)} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

2. Найдем $sin(\beta)$:

$sin(\beta) = -\sqrt{1 - cos^2(\beta)} = -\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь можем вычислить требуемые значения.

а) $sin(\alpha - \beta)$

Используем формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Подставляем известные значения:

$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2\sqrt{2} - 1}{3\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 1 \cdot \sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{4 - \sqrt{2}}{6}$

Ответ: $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$

б) $cos(\alpha + \beta)$

Используем формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

Подставляем известные значения:

$cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{1 - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1 - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{(1 - 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} - 4}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - 4}{6}$

в) $tg(\alpha + \beta)$

Для нахождения тангенса суммы воспользуемся формулой $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg(\alpha) + tg(\beta)}{1 - tg(\alpha)tg(\beta)}$. Сначала найдем $tg(\alpha)$ и $tg(\beta)$.

$tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{-1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = -1$

$tg(\beta) = \frac{sin(\beta)}{cos(\beta)} = \frac{-2\sqrt{2}/3}{1/3} = -2\sqrt{2}$

Теперь подставляем в формулу тангенса суммы:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{-1 + (-2\sqrt{2})}{1 - (-1)(-2\sqrt{2})} = \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{1 - 2\sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(1 + 2\sqrt{2})$:

$\frac{(-1 - 2\sqrt{2})(1 + 2\sqrt{2})}{(1 - 2\sqrt{2})(1 + 2\sqrt{2})} = \frac{-(1 + 2\sqrt{2})^2}{1^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{-(1 + 4\sqrt{2} + 8)}{1 - 8} = \frac{-(9 + 4\sqrt{2})}{-7} = \frac{9 + 4\sqrt{2}}{7}$

Ответ: $\frac{9 + 4\sqrt{2}}{7}$