Номер 684, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 684, страница 199.

Условие.

684. Найдите значение выражения (устно):

a) $\frac{\operatorname{tg} 35^{\circ} + \operatorname{tg} 10^{\circ}}{1 - \operatorname{tg} 35^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 10^{\circ}}$;

б) $\frac{\operatorname{tg} 65^{\circ} - \operatorname{tg} 35^{\circ}}{1 + \operatorname{tg} 65^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 35^{\circ}}$;

в) $\frac{\operatorname{tg} 14^{\circ} + \operatorname{tg} 46^{\circ}}{1 - \operatorname{tg} 14^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 46^{\circ}}$;

г) $\frac{\operatorname{tg} 25^{\circ} - \operatorname{tg} 70^{\circ}}{1 + \operatorname{tg} 25^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 70^{\circ}}$;

д) $\frac{\operatorname{tg} 17^{\circ} + \operatorname{tg} 43^{\circ}}{\operatorname{tg} 17^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 43^{\circ} - 1}$;

е) $\frac{1 + \operatorname{tg} 75^{\circ} \cdot \operatorname{tg} 45^{\circ}}{\operatorname{tg} 75^{\circ} - \operatorname{tg} 45^{\circ}}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для решения этого примера используется формула тангенса суммы двух углов: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} $. Подставим в формулу значения $ \alpha = 35^\circ $ и $ \beta = 10^\circ $:
$ \frac{\tg 35^\circ + \tg 10^\circ}{1 - \tg 35^\circ \cdot \tg 10^\circ} = \tg(35^\circ + 10^\circ) = \tg(45^\circ) $.
Значение тангенса 45 градусов равно 1.
Ответ: 1

б) Здесь применяется формула тангенса разности двух углов: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \cdot \tg \beta} $. Подставим в формулу значения $ \alpha = 65^\circ $ и $ \beta = 35^\circ $:
$ \frac{\tg 65^\circ - \tg 35^\circ}{1 + \tg 65^\circ \cdot \tg 35^\circ} = \tg(65^\circ - 35^\circ) = \tg(30^\circ) $.
Значение тангенса 30 градусов равно $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

в) Снова используем формулу тангенса суммы: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta} $. Подставим значения $ \alpha = 14^\circ $ и $ \beta = 46^\circ $:
$ \frac{\tg 14^\circ + \tg 46^\circ}{1 - \tg 14^\circ \cdot \tg 46^\circ} = \tg(14^\circ + 46^\circ) = \tg(60^\circ) $.
Значение тангенса 60 градусов равно $ \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $

г) Используем формулу тангенса разности: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \cdot \tg \beta} $. Подставим значения $ \alpha = 25^\circ $ и $ \beta = 70^\circ $:
$ \frac{\tg 25^\circ - \tg 70^\circ}{1 + \tg 25^\circ \cdot \tg 70^\circ} = \tg(25^\circ - 70^\circ) = \tg(-45^\circ) $.
Тангенс является нечетной функцией, поэтому $ \tg(-x) = -\tg(x) $. Следовательно, $ \tg(-45^\circ) = -\tg(45^\circ) = -1 $.
Ответ: -1

д) Выражение похоже на формулу тангенса суммы, но знаменатель имеет противоположные знаки. Преобразуем его, вынеся -1 за скобки в знаменателе:
$ \frac{\tg 17^\circ + \tg 43^\circ}{\tg 17^\circ \cdot \tg 43^\circ - 1} = \frac{\tg 17^\circ + \tg 43^\circ}{-(1 - \tg 17^\circ \cdot \tg 43^\circ)} = - \left( \frac{\tg 17^\circ + \tg 43^\circ}{1 - \tg 17^\circ \cdot \tg 43^\circ} \right) $.
Теперь выражение в скобках соответствует формуле тангенса суммы $ \tg(17^\circ + 43^\circ) $:
$ - \tg(17^\circ + 43^\circ) = - \tg(60^\circ) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $

е) Данное выражение является обратным к выражению из формулы тангенса разности.
Формула тангенса разности: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1 + \tg \alpha \cdot \tg \beta} $.
Наше выражение можно записать так: $ \frac{1 + \tg 75^\circ \cdot \tg 45^\circ}{\tg 75^\circ - \tg 45^\circ} = \frac{1}{\frac{\tg 75^\circ - \tg 45^\circ}{1 + \tg 75^\circ \cdot \tg 45^\circ}} $.
Это равно $ \frac{1}{\tg(75^\circ - 45^\circ)} $, что по определению является котангенсом: $ \cot(75^\circ - 45^\circ) = \cot(30^\circ) $.
Значение котангенса 30 градусов равно $ \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $