Номер 679, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 679, страница 195.

Условие.

679. Вычислите сумму

$1 + \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + \sin^2\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) + \sin^3\left(3\pi - \frac{\pi}{6}\right) + \sin^4\left(4\pi - \frac{\pi}{6}\right) + \sin^5\left(5\pi - \frac{\pi}{6}\right).$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для вычисления данной суммы необходимо упростить каждое слагаемое, используя формулы приведения для тригонометрических функций. Общая формула приведения для синуса $sin(n\pi - \alpha)$ зависит от четности целого числа $n$.

1. Если $n$ — нечетное число, то $sin(n\pi - \alpha) = sin(\alpha)$.

2. Если $n$ — четное число, то $sin(n\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$.

Рассмотрим каждое слагаемое в выражении:

$sin(\pi - \frac{\pi}{6})$: здесь $n=1$ (нечетное), поэтому $sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6})$.

$sin^2(2\pi - \frac{\pi}{6})$: здесь $n=2$ (четное), поэтому $sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6})$. Возводя в квадрат, получаем $(-sin(\frac{\pi}{6}))^2 = sin^2(\frac{\pi}{6})$.

$sin^3(3\pi - \frac{\pi}{6})$: здесь $n=3$ (нечетное), поэтому $sin(3\pi - \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6})$. Выражение равно $sin^3(\frac{\pi}{6})$.

$sin^4(4\pi - \frac{\pi}{6})$: здесь $n=4$ (четное), поэтому $sin(4\pi - \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6})$. Возводя в четвертую степень, получаем $(-sin(\frac{\pi}{6}))^4 = sin^4(\frac{\pi}{6})$.

$sin^5(5\pi - \frac{\pi}{6})$: здесь $n=5$ (нечетное), поэтому $sin(5\pi - \frac{\pi}{6}) = sin(\frac{\pi}{6})$. Выражение равно $sin^5(\frac{\pi}{6})$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать, заменив все слагаемые на соответствующие степени $sin(\frac{\pi}{6})$:

$S = 1 + sin(\frac{\pi}{6}) + sin^2(\frac{\pi}{6}) + sin^3(\frac{\pi}{6}) + sin^4(\frac{\pi}{6}) + sin^5(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что значение $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в сумму:

$S = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5$

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}$

Данная сумма является суммой шести первых членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы приведем все дроби к общему знаменателю 32:

$S = \frac{32}{32} + \frac{16}{32} + \frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{32} + \frac{1}{32} = \frac{32+16+8+4+2+1}{32} = \frac{63}{32}$

Также можно было использовать формулу суммы конечной геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_6 = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{63}{32}$

Ответ: $\frac{63}{32}$