Номер 683, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 683, страница 199.

Условие.

683. Преобразуйте выражение к тригонометрической функции суммы или разности углов и найдите его значение (устно):

а) $ \cos 105^\circ \cdot \cos 15^\circ + \sin 105^\circ \cdot \sin 15^\circ $;

б) $ \cos 38^\circ \cdot \cos 22^\circ - \sin 38^\circ \cdot \sin 22^\circ $;

в) $ \sin 61^\circ \cdot \cos 29^\circ + \cos 61^\circ \cdot \sin 29^\circ $;

г) $ \sin 64^\circ \cdot \cos 34^\circ - \cos 64^\circ \cdot \sin 34^\circ $;

д) $ \cos 58^\circ \cdot \cos 28^\circ + \sin 58^\circ \cdot \sin 28^\circ $;

е) $ \sin 83^\circ \cdot \cos 23^\circ - \cos 83^\circ \cdot \sin 23^\circ $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данное выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Применяя эту формулу, где $ \alpha = 105^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $, получаем:
$ \cos 105^\circ \cdot \cos 15^\circ + \sin 105^\circ \cdot \sin 15^\circ = \cos(105^\circ - 15^\circ) = \cos(90^\circ) = 0 $.
Ответ: 0

б) Данное выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.
Применяя эту формулу, где $ \alpha = 38^\circ $ и $ \beta = 22^\circ $, получаем:
$ \cos 38^\circ \cdot \cos 22^\circ - \sin 38^\circ \cdot \sin 22^\circ = \cos(38^\circ + 22^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Данное выражение соответствует формуле синуса суммы двух углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.
Применяя эту формулу, где $ \alpha = 61^\circ $ и $ \beta = 29^\circ $, получаем:
$ \sin 61^\circ \cdot \cos 29^\circ + \cos 61^\circ \cdot \sin 29^\circ = \sin(61^\circ + 29^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 $.
Ответ: 1

г) Данное выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
Применяя эту формулу, где $ \alpha = 64^\circ $ и $ \beta = 34^\circ $, получаем:
$ \sin 64^\circ \cdot \cos 34^\circ - \cos 64^\circ \cdot \sin 34^\circ = \sin(64^\circ - 34^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

д) Данное выражение соответствует формуле косинуса разности двух углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.
Применяя эту формулу, где $ \alpha = 58^\circ $ и $ \beta = 28^\circ $, получаем:
$ \cos 58^\circ \cdot \cos 28^\circ + \sin 58^\circ \cdot \sin 28^\circ = \cos(58^\circ - 28^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

е) Данное выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
Применяя эту формулу, где $ \alpha = 83^\circ $ и $ \beta = 23^\circ $, получаем:
$ \sin 83^\circ \cdot \cos 23^\circ - \cos 83^\circ \cdot \sin 23^\circ = \sin(83^\circ - 23^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $