Номер 690, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 690, страница 199.

Условие.

690. Вычислите $tg(\frac{\pi}{6} + \alpha)$, если $\cos \alpha = -0,8$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Какой четверти принадлежит угол $\frac{\pi}{6} + \alpha$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Вычислите tg(π/6 + α)
Для вычисления тангенса суммы углов используем формулу сложения:
$ \text{tg}(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{6}) + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}(\frac{\pi}{6}) \cdot \text{tg}\alpha} $.
Сначала найдем значение $ \text{tg}\alpha $.
По условию, $ \cos \alpha = -0,8 $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $. Данный интервал соответствует III координатной четверти, в которой синус отрицателен ($ \sin \alpha < 0 $), а тангенс положителен ($ \text{tg} \alpha > 0 $).
Найдем синус угла $ \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.
Поскольку угол $ \alpha $ находится в III четверти, его синус отрицателен:
$ \sin \alpha = -\sqrt{0,36} = -0,6 $.
Теперь можем найти тангенс угла $ \alpha $:
$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{3}{4} $.
Значение тангенса для угла $ \frac{\pi}{6} $ является табличным: $ \text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Подставим все найденные значения в исходную формулу:
$ \text{tg}(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4\sqrt{3} + 9 \cdot 1}{12}}{\frac{12 - 3\sqrt{3}}{12}} = \frac{4\sqrt{3} + 9}{12 - 3\sqrt{3}} $.
Для упрощения выражения вынесем общий множитель 3 в знаменателе и избавимся от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (4 + \sqrt{3}) $:
$ \frac{9 + 4\sqrt{3}}{3(4 - \sqrt{3})} = \frac{(9 + 4\sqrt{3})(4 + \sqrt{3})}{3(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})} = \frac{36 + 9\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + 4 \cdot (\sqrt{3})^2}{3(4^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{36 + 25\sqrt{3} + 12}{3(16 - 3)} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{3 \cdot 13} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} $.
Ответ: $ \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} $.

Какой четверти принадлежит угол π/6 + α?
Из условия известно, что $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $. Чтобы найти, в каком промежутке находится угол $ \frac{\pi}{6} + \alpha $, прибавим $ \frac{\pi}{6} $ ко всем частям этого неравенства:
$ \pi + \frac{\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} $
$ \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} $
$ \frac{7\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} \implies \frac{7\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{3} $
Этот интервал $ (\frac{7\pi}{6}, \frac{5\pi}{3}) $ шире одной четверти, так как граница III и IV четвертей, равная $ \frac{3\pi}{2} $, попадает в него ($ \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} $).
Чтобы уточнить положение угла, используем значение $ \cos \alpha = -0,8 $.
Рассмотрим поведение функции $ \cos x $ на интервале $ (\pi, \frac{3\pi}{2}) $. На этом интервале косинус возрастает (от -1 до 0). Сравним значение $ \alpha $ со значением $ \frac{4\pi}{3} $, которое также лежит в этом интервале.
$ \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -0,5 $.
Мы имеем $ \cos \alpha = -0,8 $ и $ \cos(\frac{4\pi}{3}) = -0,5 $.
Так как $ -0,8 < -0,5 $, то и $ \cos \alpha < \cos(\frac{4\pi}{3}) $.
Поскольку функция косинуса на интервале $ (\pi, \frac{3\pi}{2}) $ возрастающая, из неравенства для косинусов следует такое же неравенство для аргументов: $ \alpha < \frac{4\pi}{3} $.
Таким образом, мы получили более точный интервал для $ \alpha $: $ \pi < \alpha < \frac{4\pi}{3} $.
Теперь снова определим интервал для $ \frac{\pi}{6} + \alpha $:
$ \pi + \frac{\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{6} $
$ \frac{7\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{8\pi}{6} + \frac{\pi}{6} $
$ \frac{7\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{9\pi}{6} $
$ \frac{7\pi}{6} < \alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{3\pi}{2} $
Границы III четверти: $ (\pi, \frac{3\pi}{2}) $. Полученный нами интервал $ (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}) $ полностью лежит внутри III четверти.
Ответ: третей четверти.