Номер 688, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 688, страница 199.

Условие.

688. Дано: $tg \alpha = 3$, а $tg \beta = \frac{1}{6}$. Найдите:

а) $ctg(\alpha + \beta)$;

б) $ctg(\alpha - \beta)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано: $\text{tg } \alpha = 3$ и $\text{tg } \beta = \frac{1}{6}$.

Для решения задачи сначала найдем значения котангенсов углов $\alpha$ и $\beta$, используя соотношение $\text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x}$.

$\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{3}$

$\text{ctg } \beta = \frac{1}{\text{tg } \beta} = \frac{1}{1/6} = 6$

Теперь можем найти искомые значения.

а) Для нахождения $\text{ctg}(\alpha + \beta)$ используем формулу котангенса суммы:

$\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta - 1}{\text{ctg } \beta + \text{ctg } \alpha}$

Подставляем найденные значения $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$ и $\text{ctg } \beta = 6$ в формулу:

$\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 6 - 1}{6 + \frac{1}{3}} = \frac{2 - 1}{\frac{18}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{19}{3}} = \frac{3}{19}$

Ответ: $\frac{3}{19}$.

б) Для нахождения $\text{ctg}(\alpha - \beta)$ используем формулу котангенса разности:

$\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg } \alpha \cdot \text{ctg } \beta + 1}{\text{ctg } \beta - \text{ctg } \alpha}$

Подставляем значения $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$ и $\text{ctg } \beta = 6$ в формулу:

$\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 6 + 1}{6 - \frac{1}{3}} = \frac{2 + 1}{\frac{18}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{17}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{17} = \frac{9}{17}$

Ответ: $\frac{9}{17}$.