Номер 695, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 695, страница 200.

Условие.

695. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс угла:

а) $15^\circ$; в) $105^\circ$; д) $\frac{11\pi}{12}$;

б) $-75^\circ$; г) $-\frac{\pi}{12}$; е) $-\frac{7\pi}{12}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) 15°
Для вычисления тригонометрических функций угла $15°$ представим его как разность стандартных углов, например, $15° = 45° - 30°$.
1. Синус:
Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$\sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°)$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
2. Косинус:
Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
$\cos(15°) = \cos(45° - 30°) = \cos(45°)\cos(30°) + \sin(45°)\sin(30°)$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
3. Тангенс:
$\text{tg}(15°) = \frac{\sin(15°)}{\cos(15°)} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{6}-\sqrt{2})$:
$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6-2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$.
4. Котангенс:
$\text{ctg}(15°) = \frac{1}{\text{tg}(15°)} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$\frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $\sin(15°) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos(15°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\text{tg}(15°) = 2 - \sqrt{3}$, $\text{ctg}(15°) = 2 + \sqrt{3}$.

б) -75°
Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\cos(-x) = \cos(x)$, $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$, $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
Представим угол $75°$ как сумму $75° = 45° + 30°$.
1. Синус:
$\sin(-75°) = -\sin(75°) = -\sin(45° + 30°) = -(\sin(45°)\cos(30°) + \cos(45°)\sin(30°))$
$= -(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) = \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
2. Косинус:
$\cos(-75°) = \cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos(45°)\cos(30°) - \sin(45°)\sin(30°)$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
3. Тангенс:
$\text{tg}(-75°) = -\text{tg}(75°) = -\frac{\sin(75°)}{\cos(75°)} = -\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4} = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$.
$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{6-2} = \frac{6+2\sqrt{12}+2}{4} = \frac{8+4\sqrt{3}}{4} = 2+\sqrt{3}$.
Значит, $\text{tg}(-75°) = -(2+\sqrt{3})$.
4. Котангенс:
$\text{ctg}(-75°) = -\text{ctg}(75°) = -\frac{1}{\text{tg}(75°)} = -\frac{1}{2+\sqrt{3}} = -\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$.
Ответ: $\sin(-75°) = \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos(-75°) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\text{tg}(-75°) = -2 - \sqrt{3}$, $\text{ctg}(-75°) = \sqrt{3} - 2$.

в) 105°
Представим угол $105°$ как сумму $105° = 60° + 45°$.
1. Синус:
$\sin(105°) = \sin(60° + 45°) = \sin(60°)\cos(45°) + \cos(60°)\sin(45°)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
2. Косинус:
$\cos(105°) = \cos(60° + 45°) = \cos(60°)\cos(45°) - \sin(60°)\sin(45°)$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
3. Тангенс:
$\text{tg}(105°) = \frac{\sin(105°)}{\cos(105°)} = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4}{(\sqrt{2}-\sqrt{6})/4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{-(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = -(2+\sqrt{3})$. (Используя вычисление из пункта б).
4. Котангенс:
$\text{ctg}(105°) = \frac{1}{\text{tg}(105°)} = \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$. (Используя вычисление из пункта б).
Ответ: $\sin(105°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\cos(105°) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$, $\text{tg}(105°) = -2 - \sqrt{3}$, $\text{ctg}(105°) = \sqrt{3} - 2$.

г) -π/12
Угол в радианах $-\frac{\pi}{12}$ соответствует углу в градусах $-\frac{180°}{12} = -15°$.
Мы можем использовать результаты для $15°$ из пункта (а) и свойства нечетности/четности.
1. Синус:
$\sin(-\frac{\pi}{12}) = \sin(-15°) = -\sin(15°) = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
2. Косинус:
$\cos(-\frac{\pi}{12}) = \cos(-15°) = \cos(15°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
3. Тангенс:
$\text{tg}(-\frac{\pi}{12}) = \text{tg}(-15°) = -\text{tg}(15°) = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.
4. Котангенс:
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{12}) = \text{ctg}(-15°) = -\text{ctg}(15°) = -(2 + \sqrt{3})$.
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$, $\cos(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\text{tg}(-\frac{\pi}{12}) = \sqrt{3} - 2$, $\text{ctg}(-\frac{\pi}{12}) = -2 - \sqrt{3}$.

д) 11π/12
Угол $\frac{11\pi}{12}$ соответствует $\frac{11 \cdot 180°}{12} = 11 \cdot 15° = 165°$.
Используем формулы приведения: $165° = 180° - 15°$.
1. Синус:
$\sin(\frac{11\pi}{12}) = \sin(165°) = \sin(180° - 15°) = \sin(15°) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. (Из пункта а).
2. Косинус:
$\cos(\frac{11\pi}{12}) = \cos(165°) = \cos(180° - 15°) = -\cos(15°) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. (Из пункта а).
3. Тангенс:
$\text{tg}(\frac{11\pi}{12}) = \text{tg}(165°) = \text{tg}(180° - 15°) = -\text{tg}(15°) = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$. (Из пункта а).
4. Котангенс:
$\text{ctg}(\frac{11\pi}{12}) = \text{ctg}(165°) = \text{ctg}(180° - 15°) = -\text{ctg}(15°) = -(2 + \sqrt{3})$. (Из пункта а).
Ответ: $\sin(\frac{11\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos(\frac{11\pi}{12}) = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\text{tg}(\frac{11\pi}{12}) = \sqrt{3} - 2$, $\text{ctg}(\frac{11\pi}{12}) = -2 - \sqrt{3}$.

е) -7π/12
Угол $-\frac{7\pi}{12}$ соответствует $-\frac{7 \cdot 180°}{12} = -7 \cdot 15° = -105°$.
Используем результаты для $105°$ из пункта (в) и свойства нечетности/четности.
1. Синус:
$\sin(-\frac{7\pi}{12}) = \sin(-105°) = -\sin(105°) = -(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}) = \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
2. Косинус:
$\cos(-\frac{7\pi}{12}) = \cos(-105°) = \cos(105°) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
3. Тангенс:
$\text{tg}(-\frac{7\pi}{12}) = \text{tg}(-105°) = -\text{tg}(105°) = -(-(2+\sqrt{3})) = 2 + \sqrt{3}$.
4. Котангенс:
$\text{ctg}(-\frac{7\pi}{12}) = \text{ctg}(-105°) = -\text{ctg}(105°) = -(\sqrt{3}-2) = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $\sin(-\frac{7\pi}{12}) = \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos(-\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$, $\text{tg}(-\frac{7\pi}{12}) = 2 + \sqrt{3}$, $\text{ctg}(-\frac{7\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$.