Номер 691, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 691, страница 200.

Условие.

691. Упростите выражение:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$;

в) $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$;

г) $\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) - cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$ воспользуемся формулой приведения $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Применим ее ко второму слагаемому:

$cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{3} + \alpha)) = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \alpha) = sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) - sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 0$.

Ответ: $0$.

б) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)$ воспользуемся формулой приведения $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Применим ее ко второму слагаемому:

$sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + \alpha)) = cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \alpha) = cos(\frac{3\pi - \pi}{6} - \alpha) = cos(\frac{2\pi}{6} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) + cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = 2cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$.

Ответ: $2cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$.

в) Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ воспользуемся формулами синуса суммы и разности:

$sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$

$sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$

Раскроем каждое слагаемое:

$sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) + cos(\frac{\pi}{4})sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha)$.

$sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{4})cos(\alpha) - cos(\frac{\pi}{4})sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha)$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(\frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha)) + (\frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}sin(\alpha)) = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}cos(\alpha) = \sqrt{2}cos(\alpha)$.

Ответ: $\sqrt{2}cos(\alpha)$.

г) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - cos(\frac{\pi}{6} + \alpha)$ воспользуемся формулами косинуса разности и суммы:

$cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$

$cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$

Раскроем каждое слагаемое:

$cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = cos(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) + sin(\frac{\pi}{6})sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha)$.

$cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) = cos(\frac{\pi}{6})cos(\alpha) - sin(\frac{\pi}{6})sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha)) - (\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) - \frac{1}{2}sin(\alpha)) = \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha) = \frac{1}{2}sin(\alpha) + \frac{1}{2}sin(\alpha) = sin(\alpha)$.

Ответ: $sin(\alpha)$.