Номер 697, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 697, страница 200.

Условие.

697. Найдите значение выражения $ \sin 200^\circ \cdot \sin 310^\circ + \cos 340^\circ \times \cos 50^\circ $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы найти значение данного выражения, мы будем использовать формулы приведения и тригонометрическую формулу косинуса разности.

Исходное выражение: $sin 200° \cdot sin 310° + cos 340° \cdot cos 50°$.

Для удобства дальнейших преобразований поменяем слагаемые местами:

$cos 340° \cdot cos 50° + sin 200° \cdot sin 310°$

Теперь воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить тригонометрические функции с углами, выходящими за пределы первой четверти ($0°-90°$).

1. Для $cos 340°$: Угол $340°$ находится в IV четверти, где косинус положителен. Представим $340°$ как $360° - 20°$.

$cos 340° = cos(360° - 20°) = cos 20°$

2. Для $sin 200°$: Угол $200°$ находится в III четверти, где синус отрицателен. Представим $200°$ как $180° + 20°$.

$sin 200° = sin(180° + 20°) = -sin 20°$

3. Для $sin 310°$: Угол $310°$ находится в IV четверти, где синус отрицателен. Представим $310°$ как $360° - 50°$.

$sin 310° = sin(360° - 50°) = -sin 50°$

Теперь подставим преобразованные значения обратно в выражение:

$(cos 20°) \cdot cos 50° + (-sin 20°) \cdot (-sin 50°)$

Произведение двух отрицательных значений дает положительное значение:

$cos 20° \cdot cos 50° + sin 20° \cdot sin 50°$

Полученное выражение в точности соответствует правой части формулы косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta + sin \alpha \cdot sin \beta$.

В нашем случае можно принять $\alpha = 50°$ и $\beta = 20°$. Применим формулу:

$cos 50° \cdot cos 20° + sin 50° \cdot sin 20° = cos(50° - 20°) = cos(30°)$

Значение косинуса $30°$ является стандартным табличным значением:

$cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$