Номер 704, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 704, страница 201.

Условие.

704. Докажите, что если $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$, $\beta \in (0; \frac{\pi}{2})$, то верно соотношение:

а) $\sin(\alpha + \beta) < \sin \alpha + \sin \beta$;

б) $\cos(\alpha - \beta) < \cos \alpha + \sin \beta$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Требуется доказать неравенство $sin(\alpha + \beta) < sin \alpha + sin \beta$ для $\alpha, \beta \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Для доказательства воспользуемся формулой синуса суммы:

$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta$

По условию, углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, то есть находятся в первой координатной четверти. Для таких углов их синусы и косинусы строго положительны и строго меньше единицы:

$0 < cos \alpha < 1$

$0 < sin \alpha < 1$

$0 < cos \beta < 1$

$0 < sin \beta < 1$

Рассмотрим слагаемые в правой части формулы синуса суммы.

Поскольку $cos \beta < 1$ и $sin \alpha > 0$, мы можем умножить обе части неравенства $cos \beta < 1$ на положительное число $sin \alpha$, не меняя знака неравенства:

$sin \alpha \cdot cos \beta < sin \alpha$

Аналогично, поскольку $cos \alpha < 1$ и $sin \beta > 0$, умножим обе части неравенства $cos \alpha < 1$ на $sin \beta$:

$cos \alpha \cdot sin \beta < sin \beta$

Теперь сложим полученные строгие неравенства:

$sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta < sin \alpha + sin \beta$

Левая часть этого неравенства в точности равна $sin(\alpha + \beta)$. Таким образом, мы доказали, что:

$sin(\alpha + \beta) < sin \alpha + sin \beta$

Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать неравенство $cos(\alpha - \beta) < cos \alpha + sin \beta$ для $\alpha, \beta \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Для доказательства воспользуемся формулой косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos \alpha \cdot cos \beta + sin \alpha \cdot sin \beta$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тем, что для углов из интервала $(0; \frac{\pi}{2})$ значения их косинусов и синусов находятся в интервале $(0; 1)$. В частности, нам понадобятся следующие неравенства:

$cos \beta < 1$

$sin \alpha < 1$

А также то, что $cos \alpha > 0$ и $sin \beta > 0$.

Рассмотрим слагаемые в правой части формулы косинуса разности.

Поскольку $cos \beta < 1$ и $cos \alpha > 0$, умножим обе части неравенства $cos \beta < 1$ на $cos \alpha$:

$cos \alpha \cdot cos \beta < cos \alpha$

Аналогично, поскольку $sin \alpha < 1$ и $sin \beta > 0$, умножим обе части неравенства $sin \alpha < 1$ на $sin \beta$:

$sin \alpha \cdot sin \beta < sin \beta$

Сложим полученные строгие неравенства:

$cos \alpha \cdot cos \beta + sin \alpha \cdot sin \beta < cos \alpha + sin \beta$

Левая часть этого неравенства в точности равна $cos(\alpha - \beta)$. Таким образом, мы доказали, что:

$cos(\alpha - \beta) < cos \alpha + sin \beta$

Ответ: Доказано.