Номер 707, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 707, страница 202.

Условие.

707. Дано $tg \alpha = \frac{1}{12}$, $tg \beta = \frac{2}{5}$, $tg \gamma = \frac{1}{3}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ - положительные острые углы. Докажите, что $\alpha + \beta + \gamma = 45^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства равенства $ \alpha + \beta + \gamma = 45^\circ $ найдем тангенс суммы этих углов. Для этого последовательно воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $ \tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y} $.

Сначала вычислим $ \tg(\alpha + \beta) $, используя данные значения $ \tg \alpha = \frac{1}{12} $ и $ \tg \beta = \frac{2}{5} $:
$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} = \frac{\frac{1}{12} + \frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{12} \cdot \frac{2}{5}} = \frac{\frac{5 + 24}{60}}{1 - \frac{2}{60}} = \frac{\frac{29}{60}}{\frac{58}{60}} = \frac{29}{60} \cdot \frac{60}{58} = \frac{29}{58} = \frac{1}{2} $.

Теперь, зная $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} $ и $ \tg \gamma = \frac{1}{3} $, найдем $ \tg((\alpha + \beta) + \gamma) $:
$ \tg(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\tg(\alpha + \beta) + \tg \gamma}{1 - \tg(\alpha + \beta) \tg \gamma} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3 + 2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 $.

Мы получили, что $ \tg(\alpha + \beta + \gamma) = 1 $.
Из условия известно, что $ \alpha, \beta, \gamma $ — положительные острые углы, то есть $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $, $ 0^\circ < \beta < 90^\circ $, $ 0^\circ < \gamma < 90^\circ $.
Следовательно, их сумма $ \alpha + \beta + \gamma $ должна находиться в интервале $ 0^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 270^\circ $.

Можно дать более точную оценку. Поскольку тангенсы всех трех углов меньше 1 ($ \tg 45^\circ = 1 $):
$ \tg \alpha = \frac{1}{12} < 1 \implies 0^\circ < \alpha < 45^\circ $
$ \tg \beta = \frac{2}{5} < 1 \implies 0^\circ < \beta < 45^\circ $
$ \tg \gamma = \frac{1}{3} < 1 \implies 0^\circ < \gamma < 45^\circ $
Складывая эти неравенства, получаем, что сумма углов находится в пределах:
$ 0^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 45^\circ + 45^\circ + 45^\circ $
$ 0^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 135^\circ $

Единственный угол в интервале $ (0^\circ, 135^\circ) $, тангенс которого равен 1, — это угол $ 45^\circ $.
Таким образом, мы доказали, что $ \alpha + \beta + \gamma = 45^\circ $.

Ответ: Утверждение, что $ \alpha + \beta + \gamma = 45^\circ $, доказано.