Номер 710, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 710, страница 202.

Условие.

710. Найдите значение выражения $ \frac{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения значения выражения $\frac{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ}$ воспользуемся тригонометрическими формулами. Обозначим искомое выражение как $E$.

Пусть $\alpha = 15^\circ$. Тогда выражение можно записать в виде $E = \frac{3\text{ctg}^2\alpha - 1}{3 - \text{ctg}^2\alpha}$.

Рассмотрим формулу тангенса тройного угла: $\text{tg}(3\alpha) = \frac{3\text{tg}\alpha - \text{tg}^3\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha}$. Выразим ее через котангенс, используя замену $\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha}$:

$\text{tg}(3\alpha) = \frac{3\frac{1}{\text{ctg}\alpha} - (\frac{1}{\text{ctg}\alpha})^3}{1 - 3(\frac{1}{\text{ctg}\alpha})^2} = \frac{\frac{3}{\text{ctg}\alpha} - \frac{1}{\text{ctg}^3\alpha}}{1 - \frac{3}{\text{ctg}^2\alpha}}$.

Для упрощения дроби домножим числитель и знаменатель на $\text{ctg}^3\alpha$:

$\text{tg}(3\alpha) = \frac{( \frac{3}{\text{ctg}\alpha} - \frac{1}{\text{ctg}^3\alpha} ) \text{ctg}^3\alpha}{( 1 - \frac{3}{\text{ctg}^2\alpha} ) \text{ctg}^3\alpha} = \frac{3\text{ctg}^2\alpha - 1}{\text{ctg}^3\alpha - 3\text{ctg}\alpha} = \frac{3\text{ctg}^2\alpha - 1}{\text{ctg}\alpha(\text{ctg}^2\alpha - 3)}$.

Теперь преобразуем исходное выражение $E$, используя полученную связь. Числитель исходного выражения совпадает с числителем в формуле для $\text{tg}(3\alpha)$. Знаменатели связаны следующим образом:

$3 - \text{ctg}^2\alpha = -(\text{ctg}^2\alpha - 3)$.

Выразим $E$ через $\text{tg}(3\alpha)$:

$E = \frac{3\text{ctg}^2\alpha - 1}{-(\text{ctg}^2\alpha - 3)} = -\frac{3\text{ctg}^2\alpha - 1}{\text{ctg}^2\alpha - 3}$.

Из формулы для $\text{tg}(3\alpha)$ следует, что $\frac{3\text{ctg}^2\alpha - 1}{\text{ctg}^2\alpha - 3} = \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}(3\alpha)$.

Таким образом, $E = -\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}(3\alpha)$.

Подставим в полученное выражение значение $\alpha = 15^\circ$:

$E = -\text{ctg}15^\circ \cdot \text{tg}(3 \cdot 15^\circ) = -\text{ctg}15^\circ \cdot \text{tg}45^\circ$.

Так как значение тангенса $45^\circ$ равно $1$ ($\text{tg}45^\circ = 1$), получаем:

$E = -\text{ctg}15^\circ$.

Далее, найдем численное значение $\text{ctg}15^\circ$. Для этого представим $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$ и применим формулу котангенса разности углов: $\text{ctg}(A - B) = \frac{\text{ctg}A \text{ctg}B + 1}{\text{ctg}B - \text{ctg}A}$.

$\text{ctg}15^\circ = \text{ctg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{ctg}45^\circ \text{ctg}30^\circ + 1}{\text{ctg}30^\circ - \text{ctg}45^\circ}$.

Подставим табличные значения $\text{ctg}45^\circ = 1$ и $\text{ctg}30^\circ = \sqrt{3}$:

$\text{ctg}15^\circ = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:

$\text{ctg}15^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

Следовательно, значение исходного выражения равно:

$E = -\text{ctg}15^\circ = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $-2 - \sqrt{3}$.