Вопросы, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - страница 205.

Условие.

Запишите формулы тригонометрических функций:

а) двойного угла;

б) половинного угла.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) двойного угла

Формулы двойного угла выражают тригонометрические функции угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Эти формулы являются прямым следствием формул сложения углов, где углы равны.

Синус двойного угла:
$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Косинус двойного угла:
Эта функция имеет три основные, равносильные формы. Основная форма выводится из формулы косинуса суммы, а две другие — из нее с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
1. $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$
2. $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$
3. $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

Тангенс двойного угла:
$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

Котангенс двойного угла:
$\cot(2\alpha) = \frac{\cot^2(\alpha) - 1}{2\cot(\alpha)}$

Ответ: Основные формулы двойного угла:
$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$
$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

б) половинного угла

Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции угла $\frac{\alpha}{2}$ через тригонометрические функции (обычно косинус) угла $\alpha$. Они выводятся из формул косинуса двойного угла.

Синус и косинус половинного угла:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$
$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$
В этих формулах знак «+» или «−» перед корнем выбирается в зависимости от того, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

Тангенс половинного угла:
Формула с радикалом также требует выбора знака:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}}$
Однако существуют и более удобные формы, в которых знак определяется автоматически:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Котангенс половинного угла:
Аналогично тангенсу, существуют формулы с радикалом и без него:
$\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)}}$
Формы без радикала:
$\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin(\alpha)}{1 - \cos(\alpha)}$
$\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Ответ: Основные формулы половинного угла:
$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$
$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$