Номер 713, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 713, страница 205.

Условие.

713. Сократите дробь:

a) $\frac{\sin 100^\circ}{\sin 50^\circ}$;

б) $\frac{\sin 150^\circ}{\cos 75^\circ}$;

В) $\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ - \sin 40^\circ}$;

Г) $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для упрощения дроби используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Представим числитель $\sin 100^\circ$ как синус двойного угла от $50^\circ$:

$\sin 100^\circ = \sin(2 \cdot 50^\circ) = 2\sin 50^\circ \cos 50^\circ$.

Теперь подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\sin 100^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{2\sin 50^\circ \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель $\sin 50^\circ$:

$2\cos 50^\circ$

Ответ: $2\cos 50^\circ$.

б)

Для упрощения дроби используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Представим числитель $\sin 150^\circ$ как синус двойного угла от $75^\circ$:

$\sin 150^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{\sin 150^\circ}{\cos 75^\circ} = \frac{2\sin 75^\circ \cos 75^\circ}{\cos 75^\circ}$

Сократим дробь на общий множитель $\cos 75^\circ$:

$2\sin 75^\circ$

Ответ: $2\sin 75^\circ$.

в)

Для упрощения дроби используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Представим числитель $\cos 80^\circ$ как косинус двойного угла от $40^\circ$:

$\cos 80^\circ = \cos(2 \cdot 40^\circ) = \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ$.

Разложим полученное выражение в числителе по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ - \sin 40^\circ}$

Сократим дробь на общий множитель $(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)$:

$\cos 40^\circ + \sin 40^\circ$

Ответ: $\cos 40^\circ + \sin 40^\circ$.

г)

Для упрощения дроби используем одну из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Представим $\cos 36^\circ$ в числителе как косинус двойного угла от $18^\circ$:

$\cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ$.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби и упростим его:

$\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ = (1 - 2\sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ = 1 - 2\sin^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Таким образом, числитель равен $\cos^2 18^\circ$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$

Сократим дробь на общий множитель $\cos 18^\circ$:

$\cos 18^\circ$

Ответ: $\cos 18^\circ$.