Номер 718, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 718, страница 206.

Условие.

718. Упростите выражение:

a) $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{\cos \alpha - 1}$;

б) $\frac{\cos 2\alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - 1}$;

в) $\frac{\operatorname{tg}^2 \alpha - 1}{\cos 2\alpha}$;

г) $\frac{4\operatorname{tg} \alpha \cdot (1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)^2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{2 \sin \alpha - \sin 2\alpha}{\cos \alpha - 1}$, применим формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби: $\frac{2 \sin \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha - 1}$

Теперь в числителе можно вынести за скобки общий множитель $2 \sin \alpha$: $\frac{2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{\cos \alpha - 1}$

Заметим, что выражения в скобках в числителе и в знаменателе противоположны по знаку, то есть $1 - \cos \alpha = -(\cos \alpha - 1)$. Сделаем замену: $\frac{2 \sin \alpha \cdot (-( \cos \alpha - 1))}{\cos \alpha - 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(\cos \alpha - 1)$, при условии, что $\cos \alpha \neq 1$: $-2 \sin \alpha$

Ответ: $-2 \sin \alpha$.

б)

Чтобы упростить выражение $\frac{\cos 2\alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - 1}$, применим формулу косинуса двойного угла в виде $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$.

Подставим это выражение в числитель: $\frac{(2\cos^2 \alpha - 1) - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - 1}$

Упростим выражение в числителе: $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1}$

Так как числитель и знаменатель равны (при условии, что $\cos^2 \alpha \neq 1$), их частное равно 1.

Ответ: $1$.

в)

Чтобы упростить выражение $\frac{\text{tg}^2 \alpha - 1}{\cos 2\alpha}$, выразим тангенс через синус и косинус: $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Подставим в числитель и приведем к общему знаменателю: $\frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1}{\cos 2\alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\cos 2\alpha}$

Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Тогда выражение в числителе верхней дроби $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$ равно $-\cos 2\alpha$.

Подставим это в наше выражение: $\frac{\frac{-\cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha}}{\cos 2\alpha}$

Это равносильно $\frac{-\cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \cos 2\alpha}$. Сократив на $\cos 2\alpha$ (при условии, что $\cos 2\alpha \neq 0$), получаем: $-\frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Ответ: $-\frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{4\text{tg}\alpha \cdot (1 - \text{tg}^2 \alpha)}{(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2}$.

Используем формулы двойного угла, выраженные через тангенс: $\sin 2\alpha = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha}$ и $\cos 2\alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha}$.

Перегруппируем множители в исходном выражении, чтобы выделить эти формулы: $2 \cdot \left(\frac{2\text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha}\right) \cdot \left(\frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha}\right)$

Теперь заменим дроби на соответствующие им выражения: $2 \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha$

Полученное выражение является формулой синуса двойного угла для угла $2\alpha$: $2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha$.

Ответ: $\sin 4\alpha$.