Номер 720, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 720, страница 206.
№720 (с. 206)
Условие. №720 (с. 206)
скриншот условия

720. Найдите значение выражения:
а)
$\sin 4\alpha$, если $\sin 2\alpha + \cos 2\alpha = \frac{1}{3}$;
б)
$\sin \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{2}$.
Решение. №720 (с. 206)

Решение 2 (rus). №720 (с. 206)
а) Нам нужно найти значение выражения $sin(4\alpha)$, зная, что $sin(2\alpha) + cos(2\alpha) = \frac{1}{3}$.
Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.
Применив эту формулу для угла $4\alpha$, получим: $sin(4\alpha) = sin(2 \cdot 2\alpha) = 2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$.
Чтобы найти произведение $2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$, возведем в квадрат обе части исходного уравнения:
$(sin(2\alpha) + cos(2\alpha))^2 = (\frac{1}{3})^2$
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$sin^2(2\alpha) + 2sin(2\alpha)cos(2\alpha) + cos^2(2\alpha) = \frac{1}{9}$
Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. В нашем случае $x = 2\alpha$, поэтому $sin^2(2\alpha) + cos^2(2\alpha) = 1$.
Подставим это значение в наше уравнение:
$1 + 2sin(2\alpha)cos(2\alpha) = \frac{1}{9}$
Мы видим, что выражение $2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$ равно $sin(4\alpha)$. Заменим его:
$1 + sin(4\alpha) = \frac{1}{9}$
Теперь выразим $sin(4\alpha)$:
$sin(4\alpha) = \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{8}{9}$
Ответ: $-\frac{8}{9}$
б) Нам нужно найти значение выражения $sin(\frac{\alpha}{2})$, зная, что $sin(\frac{\alpha}{4}) + cos(\frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{2}$.
Это задание решается аналогично предыдущему. Снова используем формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.
В данном случае, если мы возьмем $x = \frac{\alpha}{4}$, то $2x = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}$. Таким образом, $sin(\frac{\alpha}{2}) = 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$.
Чтобы найти искомое значение, возведем в квадрат обе части исходного уравнения:
$(sin(\frac{\alpha}{4}) + cos(\frac{\alpha}{4}))^2 = (\frac{1}{2})^2$
Раскроем скобки в левой части:
$sin^2(\frac{\alpha}{4}) + 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4}) + cos^2(\frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{4}$
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, где $x = \frac{\alpha}{4}$:
$1 + 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{4}$
Выражение $2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$ равно $sin(\frac{\alpha}{2})$. Подставим его в уравнение:
$1 + sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{4}$
Выразим $sin(\frac{\alpha}{2})$:
$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$
Ответ: $-\frac{3}{4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 720 расположенного на странице 206 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №720 (с. 206), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.