Номер 720, страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 720, страница 206.

Условие.

720. Найдите значение выражения:

а)

$\sin 4\alpha$, если $\sin 2\alpha + \cos 2\alpha = \frac{1}{3}$;

б)

$\sin \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4} = \frac{1}{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Нам нужно найти значение выражения $sin(4\alpha)$, зная, что $sin(2\alpha) + cos(2\alpha) = \frac{1}{3}$.

Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

Применив эту формулу для угла $4\alpha$, получим: $sin(4\alpha) = sin(2 \cdot 2\alpha) = 2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$.

Чтобы найти произведение $2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$, возведем в квадрат обе части исходного уравнения:

$(sin(2\alpha) + cos(2\alpha))^2 = (\frac{1}{3})^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$sin^2(2\alpha) + 2sin(2\alpha)cos(2\alpha) + cos^2(2\alpha) = \frac{1}{9}$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$. В нашем случае $x = 2\alpha$, поэтому $sin^2(2\alpha) + cos^2(2\alpha) = 1$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$1 + 2sin(2\alpha)cos(2\alpha) = \frac{1}{9}$

Мы видим, что выражение $2sin(2\alpha)cos(2\alpha)$ равно $sin(4\alpha)$. Заменим его:

$1 + sin(4\alpha) = \frac{1}{9}$

Теперь выразим $sin(4\alpha)$:

$sin(4\alpha) = \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{8}{9}$

Ответ: $-\frac{8}{9}$

б) Нам нужно найти значение выражения $sin(\frac{\alpha}{2})$, зная, что $sin(\frac{\alpha}{4}) + cos(\frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{2}$.

Это задание решается аналогично предыдущему. Снова используем формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$.

В данном случае, если мы возьмем $x = \frac{\alpha}{4}$, то $2x = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2}$. Таким образом, $sin(\frac{\alpha}{2}) = 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$.

Чтобы найти искомое значение, возведем в квадрат обе части исходного уравнения:

$(sin(\frac{\alpha}{4}) + cos(\frac{\alpha}{4}))^2 = (\frac{1}{2})^2$

Раскроем скобки в левой части:

$sin^2(\frac{\alpha}{4}) + 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4}) + cos^2(\frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{4}$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, где $x = \frac{\alpha}{4}$:

$1 + 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4}) = \frac{1}{4}$

Выражение $2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$ равно $sin(\frac{\alpha}{2})$. Подставим его в уравнение:

$1 + sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{4}$

Выразим $sin(\frac{\alpha}{2})$:

$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$