Номер 722, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 722, страница 207.

Условие.

722. Докажите тождество:

а) $\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

б) $\text{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}$

в) $\text{tg} \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Докажем тождество $ \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} $.

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Согласно определению тангенса, $ \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} $ можно представить в виде отношения квадратов синуса и косинуса половинного угла:

$ \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} $.

Воспользуемся формулами понижения степени (формулами половинного угла), которые выводятся из формулы косинуса двойного угла $ \cos\alpha = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) $:

$ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $

$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} $

Теперь подставим эти выражения в нашу дробь для квадрата тангенса:

$ \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} $.

Упростим полученное многоэтажное выражение, умножив числитель на перевернутый знаменатель:

$ \frac{1 - \cos\alpha}{2} \cdot \frac{2}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} $.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части: $ \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha} $.

Доказательство можно провести двумя способами.

Способ 1: Аналогично пункту а).

По определению котангенса: $ \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}} $.

Используем те же формулы понижения степени:

$ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} $ и $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $.

Подставляем в выражение для квадрата котангенса:

$ \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} \cdot \frac{2}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha} $.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Способ 2: Используя результат пункта а).

Мы знаем, что $ \text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x} $, следовательно $ \text{ctg}^2x = \frac{1}{\text{tg}^2x} $. Из пункта а) известно, что $ \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} $.

Тогда:

$ \text{ctg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} = \frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha} $.

Оба способа приводят к требуемому результату.

Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем тождество $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} $.

Данное тождество является непосредственным следствием тождества, доказанного в пункте а).

В пункте а) мы установили, что $ \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} $.

Чтобы найти выражение для $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} $, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей этого равенства.

При извлечении квадратного корня из выражения $ x^2 = A $ получаем $ x = \pm\sqrt{A} $. Применяя это правило, получаем:

$ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} $.

Знак ($ \pm $) перед корнем зависит от четверти, в которой находится угол $ \frac{\alpha}{2} $. Если угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится в I или III координатной четверти, где тангенс положителен, выбирается знак «+». Если угол $ \frac{\alpha}{2} $ находится во II или IV четверти, где тангенс отрицателен, выбирается знак «−».

Таким образом, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.