Номер 723, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 723, страница 207.

Условие.

723. Вычислите, применяя формулы половинного угла:

а) $\sin\frac{\pi}{12}$;

б) $\cos\frac{\pi}{12}$;

в) $\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}$;

г) $\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления $sin \frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой синуса половинного угла: $sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - cos\alpha}{2}}$. В данном случае, $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{12}$, откуда $\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{12}$ находится в первой координатной четверти, поэтому его синус положителен, и мы выбираем знак "+". Подставим значение $\alpha$:$sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 - cos\frac{\pi}{6}}{2}}$.Зная, что $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$.Выражение $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ можно упростить, представив его в виде разности корней: $\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.Таким образом, $sin\frac{\pi}{12} = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.Ответ: $sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

б) Для вычисления $cos \frac{\pi}{12}$ применим формулу косинуса половинного угла: $cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}}$. Аналогично пункту а), $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Угол $\frac{\pi}{12}$ находится в первой четверти, значит, его косинус положителен.$cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 + cos\frac{\pi}{6}}{2}}$.Подставляем $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:$cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$.Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$: $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.Следовательно, $cos\frac{\pi}{12} = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.Ответ: $cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

в) Для вычисления $tg \frac{\pi}{12}$ используем одну из формул тангенса половинного угла, например, $tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{sin\alpha}$. Здесь $\alpha = \frac{\pi}{6}$.Подставляем известные значения $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:$tg\frac{\pi}{12} = \frac{1 - cos\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$.Упростим полученное выражение:$tg\frac{\pi}{12} = \frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 - \sqrt{3}$.Также можно было разделить результат пункта а) на результат пункта б): $tg\frac{\pi}{12} = \frac{sin\frac{\pi}{12}}{cos\frac{\pi}{12}} = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6-2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$.Ответ: $tg\frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$.

г) Для вычисления $tg \frac{\pi}{8}$ также используем формулу $tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{sin\alpha}$. В этом случае $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8}$, значит $\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{\pi}{8}$ находится в первой четверти, его тангенс положителен.Подставляем значения $cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$tg\frac{\pi}{8} = \frac{1 - cos\frac{\pi}{4}}{sin\frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.Упрощаем выражение:$tg\frac{\pi}{8} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$tg\frac{\pi}{8} = \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1$.Ответ: $tg\frac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1$.