Номер 726, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 726, страница 207.

Условие.

726. Учащимся было дано задание: найти при $\alpha = 120^\circ$ значение выражения $\sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha}$.

Николай выполнил задание так:

$\sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha} = \sqrt{(1 - \cos 60^\circ)^2 + \sin^2 60^\circ} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.

Василий решал так:

$\sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = \sqrt{2(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = 2 \left| \sin \frac{\alpha}{2} \right| = 2 \sin 60^\circ = \sqrt{3}$.

Чье решение было правильным?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы определить, чьё решение является правильным, необходимо проанализировать шаги каждого ученика и сравнить их с верным решением. Задание состоит в том, чтобы найти значение выражения $\sqrt{(1 - \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha}$ при $\alpha = 120^\circ$.

Сначала рассмотрим решение Николая. Он начал с подстановки $\sqrt{(1 - \cos 60^\circ)^2 + \sin^2 60^\circ}$. Это является ошибкой, так как по условию задачи $\alpha = 120^\circ$, а не $60^\circ$. Хотя его дальнейшие вычисления для угла $60^\circ$ верны ($\sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$), результат не является решением исходной задачи из-за неверной подстановки.

Теперь проанализируем решение Василия. Он выбрал путь упрощения выражения перед подстановкой значения угла.
1. Он раскрывает скобки под корнем: $\sqrt{1 - 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}$.
2. Затем использует основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, что приводит выражение к виду $\sqrt{1 - 2\cos \alpha + 1} = \sqrt{2 - 2\cos \alpha}$.
3. Далее он выносит общий множитель и применяет формулу половинного угла $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$: $\sqrt{2(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{2 \cdot 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \sqrt{4\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$.
4. Наконец, он правильно извлекает корень: $\sqrt{4\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = |2\sin \frac{\alpha}{2}| = 2|\sin \frac{\alpha}{2}|$.
Все преобразования выполнены верно.
После этого Василий подставляет $\alpha = 120^\circ$:
$2|\sin \frac{120^\circ}{2}| = 2|\sin 60^\circ|$.
Так как $\sin 60^\circ > 0$, модуль можно убрать: $2\sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Все шаги Василия логичны и математически корректны.

Для окончательной проверки можно подставить значение $\alpha = 120^\circ$ напрямую в исходное выражение:
$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$
$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{(1 - (-\frac{1}{2}))^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{(1 + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.
Этот результат совпадает с ответом Василия.

Ответ: Правильным было решение Василия.