Номер 733, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 733, страница 208.
№733 (с. 208)
Условие. №733 (с. 208)
скриншот условия

733. Найдите $tg \alpha + ctg \alpha$, если $sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = m$ и $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$.
Решение. №733 (с. 208)


Решение 2 (rus). №733 (с. 208)
Для решения задачи сначала преобразуем искомое выражение $\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha$.
Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:$\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$. Отсюда следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.Подставив это в наше выражение, получим:$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.
Теперь преобразуем данное в условии равенство $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = m$.По формуле приведения для синуса: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$.Следовательно, $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha)$, и мы имеем $\cos(2\alpha) = m$.
Зная $\cos(2\alpha)$, найдем $\sin(2\alpha)$ из основного тригонометрического тождества:$\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) = 1$$\sin^2(2\alpha) = 1 - \cos^2(2\alpha) = 1 - m^2$$\sin(2\alpha) = \pm\sqrt{1 - m^2}$.
Чтобы выбрать правильный знак, используем второе условие: $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$.Найдем, в каком промежутке находится угол $2\alpha$. Для этого умножим все части неравенства на 2:$2 \cdot \frac{3\pi}{4} < 2\alpha < 2 \cdot \pi$$\frac{3\pi}{2} < 2\alpha < 2\pi$.Этот промежуток соответствует IV координатной четверти. Синус в IV четверти имеет отрицательный знак, поэтому $\sin(2\alpha) < 0$.Следовательно, мы должны выбрать знак минус:$\sin(2\alpha) = -\sqrt{1 - m^2}$.
Наконец, подставляем найденное значение $\sin(2\alpha)$ в итоговое выражение:$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{2}{\sin(2\alpha)} = \frac{2}{-\sqrt{1 - m^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 - m^2}}$.
Ответ: $-\frac{2}{\sqrt{1 - m^2}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 733 расположенного на странице 208 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №733 (с. 208), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.