Номер 733, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 733, страница 208.

Условие.

733. Найдите $tg \alpha + ctg \alpha$, если $sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = m$ и $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сначала преобразуем искомое выражение $\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha$.

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:$\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$. Отсюда следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.Подставив это в наше выражение, получим:$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)}$.

Теперь преобразуем данное в условии равенство $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = m$.По формуле приведения для синуса: $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$.Следовательно, $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha)$, и мы имеем $\cos(2\alpha) = m$.

Зная $\cos(2\alpha)$, найдем $\sin(2\alpha)$ из основного тригонометрического тождества:$\sin^2(2\alpha) + \cos^2(2\alpha) = 1$$\sin^2(2\alpha) = 1 - \cos^2(2\alpha) = 1 - m^2$$\sin(2\alpha) = \pm\sqrt{1 - m^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, используем второе условие: $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$.Найдем, в каком промежутке находится угол $2\alpha$. Для этого умножим все части неравенства на 2:$2 \cdot \frac{3\pi}{4} < 2\alpha < 2 \cdot \pi$$\frac{3\pi}{2} < 2\alpha < 2\pi$.Этот промежуток соответствует IV координатной четверти. Синус в IV четверти имеет отрицательный знак, поэтому $\sin(2\alpha) < 0$.Следовательно, мы должны выбрать знак минус:$\sin(2\alpha) = -\sqrt{1 - m^2}$.

Наконец, подставляем найденное значение $\sin(2\alpha)$ в итоговое выражение:$\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{2}{\sin(2\alpha)} = \frac{2}{-\sqrt{1 - m^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 - m^2}}$.

Ответ: $-\frac{2}{\sqrt{1 - m^2}}$.