Номер 731, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 731, страница 208.

Условие.

731. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с катетами a, b и гипотенузой c, причем катет a лежит против угла $\text{a}$, выполняется равенство $\text{ctg}\frac{\text{a}}{2} = \frac{\text{b}+\text{c}}{\text{a}}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. По условию задачи, катет $a$ лежит против угла $\alpha$.

По определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
Синус угла $\alpha$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$.
Косинус угла $\alpha$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.

Для доказательства равенства воспользуемся тригонометрической формулой котангенса половинного угла, которая выражается через синус и косинус полного угла:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Теперь подставим в эту формулу выражения для $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ через стороны треугольника $a, b, c$:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}$

Упростим полученное дробное выражение. Сначала приведем к общему знаменателю выражение в числителе:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{c}{c}+\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}} = \frac{\frac{c+b}{c}}{\frac{a}{c}}$

Теперь, разделив числитель на знаменатель (что эквивалентно умножению на перевернутую дробь), мы можем сократить $c$:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{c+b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{c+b}{a}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили его правую часть.
Следовательно, равенство $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{b+c}{a}$ является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.