Номер 736, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

27. Формулы тригонометрических функций двойного и половинного углов. IV. Тригонометрия - номер 736, страница 209.

Условие.

736. Докажите, что верно равенство:

a)

$ \sin 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{1}{8}; $

б)

$ 8\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1}{2}; $

в)

$ 4\cos^2\left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{4\sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha} = \text{B} = 2 \text{ при } 180^\circ < \alpha < 270^\circ. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства равенства $\sin 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{1}{8}$ преобразуем его левую часть. Домножим и разделим левую часть на $2\cos 10^\circ$ (при условии, что $\cos 10^\circ \neq 0$, что верно):
$\sin 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ = \frac{2\sin 10^\circ \cos 10^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ}$
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. В числителе $2\sin 10^\circ \cos 10^\circ = \sin 20^\circ$.
$\frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ}$
Снова применим эту же идею, умножив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}{2 \cdot 2\cos 10^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ}$
И еще раз повторим операцию:
$\frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{2 \cdot 4\cos 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{8\cos 10^\circ}$
Теперь используем формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos x$. Для нашего случая: $\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$.
$\frac{\cos 10^\circ}{8\cos 10^\circ} = \frac{1}{8}$
Так как левая часть равна правой, равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $8\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1}{2}$.
Сначала подставим известное значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:
$8\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 80^\circ = 4\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$
Домножим и разделим полученное выражение на $\sin 20^\circ$ (при условии, что $\sin 20^\circ \neq 0$, что верно):
$\frac{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $.
$\frac{2 \cdot (2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$
Применяем формулу еще раз:
$\frac{\sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$
И еще раз, умножив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{2\sin 20^\circ}$
Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Для нашего случая: $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.
$\frac{\sin 20^\circ}{2\sin 20^\circ} = \frac{1}{2}$
Левая часть равна правой, следовательно, равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

в) Докажем, что $4\cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) + \sqrt{4\sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha} = 2$ при $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.
Преобразуем выражение по частям.
1. Упростим первое слагаемое $4\cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2})$, используя формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$:
$4\cos^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 4 \cdot \frac{1+\cos(2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}))}{2} = 2(1+\cos(90^\circ - \alpha))$
По формуле приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Тогда первое слагаемое равно:
$2(1+\sin \alpha) = 2 + 2\sin \alpha$.
2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{4\sin^4 \alpha + \sin^2 2\alpha}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$:
$\sqrt{4\sin^4 \alpha + 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$
Вынесем общий множитель $4\sin^2 \alpha$ из-под корня:
$\sqrt{4\sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$\sqrt{4\sin^2 \alpha} = |2\sin \alpha|$
3. Сложим преобразованные части:
$2 + 2\sin \alpha + |2\sin \alpha|$
По условию задачи $180^\circ < \alpha < 270^\circ$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти синус отрицателен, то есть $\sin \alpha < 0$.
Следовательно, модуль раскрывается со знаком минус: $|2\sin \alpha| = -2\sin \alpha$.
4. Подставим раскрытый модуль в выражение:
$2 + 2\sin \alpha + (-2\sin \alpha) = 2 + 2\sin \alpha - 2\sin \alpha = 2$
Таким образом, $2 = 2$, и равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.