Номер 741, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 741, страница 212.

Условие.

741. Вычислите:

а) $ \sin 15^\circ - \sin 75^\circ $;

В) $ \sin \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{12} $;

д) $ \cos \frac{17\pi}{12} - \cos \frac{11\pi}{12} $;

б) $ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ $;

г) $ \cos \frac{19\pi}{12} - \sin \frac{5\pi}{12} $;

е) $ \sin \frac{25\pi}{12} + \sin \frac{19\pi}{12} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для вычисления выражения $sin 15^\circ - sin 75^\circ$ применим формулу разности синусов: $sin \alpha - sin \beta = 2 \cdot sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha + \beta}{2}$. Вычислим аргументы: $\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{15^\circ - 75^\circ}{2} = -30^\circ$ и $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{15^\circ + 75^\circ}{2} = 45^\circ$. Подставляем в формулу: $2 \cdot sin(-30^\circ) \cdot cos(45^\circ)$. Используя табличные значения $sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$ и $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим результат: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Для вычисления выражения $cos 75^\circ + cos 15^\circ$ применим формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha - \beta}{2}$. Вычислим аргументы: $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = 45^\circ$ и $\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = 30^\circ$. Подставляем в формулу: $2 \cdot cos(45^\circ) \cdot cos(30^\circ)$. Используя табличные значения $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находим результат: $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

в) В выражении $sin\frac{\pi}{12} + cos\frac{\pi}{12}$ сначала преобразуем косинус в синус по формуле приведения $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$: $cos\frac{\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = sin(\frac{6\pi - \pi}{12}) = sin\frac{5\pi}{12}$. Выражение принимает вид $sin\frac{\pi}{12} + sin\frac{5\pi}{12}$. Применим формулу суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 \cdot sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha - \beta}{2}$. Вычислим аргументы: $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi/12+5\pi/12}{2} = \frac{6\pi/12}{2} = \frac{\pi}{4}$ и $\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\pi/12-5\pi/12}{2} = \frac{-4\pi/12}{2} = -\frac{\pi}{6}$. Подставляем в формулу: $2 \cdot sin(\frac{\pi}{4}) \cdot cos(-\frac{\pi}{6})$. Учитывая, что $cos(-x)=cos(x)$, и табличные значения $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

г) В выражении $cos\frac{19\pi}{12} - sin\frac{5\pi}{12}$ преобразуем косинус в синус по формуле $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} + x)$. Получаем $cos\frac{19\pi}{12} = sin(\frac{\pi}{2} + \frac{19\pi}{12}) = sin(\frac{6\pi + 19\pi}{12}) = sin\frac{25\pi}{12}$. Используя периодичность синуса, $sin\frac{25\pi}{12} = sin(2\pi + \frac{\pi}{12}) = sin\frac{\pi}{12}$. Выражение принимает вид $sin\frac{\pi}{12} - sin\frac{5\pi}{12}$. Применим формулу разности синусов $sin \alpha - sin \beta = 2 \cdot sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha + \beta}{2}$. Аргументы: $\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\pi/12-5\pi/12}{2} = -\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi/12+5\pi/12}{2} = \frac{\pi}{4}$. Подставляем в формулу: $2 \cdot sin(-\frac{\pi}{6}) \cdot cos(\frac{\pi}{4})$. Используя табличные значения $sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

д) Для вычисления выражения $cos\frac{17\pi}{12} - cos\frac{11\pi}{12}$ применим формулу разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 \cdot sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot sin\frac{\alpha - \beta}{2}$. Вычислим аргументы: $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{17\pi/12 + 11\pi/12}{2} = \frac{28\pi/12}{2} = \frac{7\pi}{6}$ и $\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{17\pi/12 - 11\pi/12}{2} = \frac{6\pi/12}{2} = \frac{\pi}{4}$. Подставляем в формулу: $-2 \cdot sin(\frac{7\pi}{6}) \cdot sin(\frac{\pi}{4})$. Используя значения $sin(\frac{7\pi}{6}) = sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим результат: $-2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

е) В выражении $sin\frac{25\pi}{12} + sin\frac{19\pi}{12}$ сначала упростим первый член, используя периодичность синуса: $sin\frac{25\pi}{12} = sin(2\pi + \frac{\pi}{12}) = sin\frac{\pi}{12}$. Выражение принимает вид $sin\frac{\pi}{12} + sin\frac{19\pi}{12}$. Применим формулу суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 \cdot sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha - \beta}{2}$. Вычислим аргументы: $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi/12 + 19\pi/12}{2} = \frac{20\pi/12}{2} = \frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\pi/12 - 19\pi/12}{2} = \frac{-18\pi/12}{2} = -\frac{3\pi}{4}$. Подставляем в формулу: $2 \cdot sin(\frac{5\pi}{6}) \cdot cos(-\frac{3\pi}{4})$. Учитывая, что $cos(-x)=cos(x)$, а $sin(\frac{5\pi}{6}) = sin(\pi-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$ и $cos(\frac{3\pi}{4}) = cos(\pi-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, находим результат: $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.