Номер 738, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 738, страница 212.

Условие.

738. Представьте в виде произведения или частного выражения:

a) $\sin 4\alpha + \sin 10\alpha;$

б) $\sin 5\alpha - \sin 3\alpha;$

в) $\cos 3\alpha + \cos \alpha;$

г) $\cos \alpha - \cos 7\alpha;$

д) $\operatorname{tg} 5\alpha + \operatorname{tg} 3\alpha;$

е) $\operatorname{tg} 10\alpha - \operatorname{tg} 9\alpha.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае, для удобства вычислений, поменяем слагаемые местами (от этого сумма не изменится): $\sin 4\alpha + \sin 10\alpha = \sin 10\alpha + \sin 4\alpha$.

Пусть $x = 10\alpha$ и $y = 4\alpha$. Подставляем значения в формулу:

$\sin 10\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin\frac{10\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{10\alpha-4\alpha}{2} = 2 \sin\frac{14\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha}{2} = 2 \sin 7\alpha \cos 3\alpha$.

Ответ: $2 \sin 7\alpha \cos 3\alpha$.

б) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$.

Здесь $x = 5\alpha$ и $y = 3\alpha$. Применяем формулу:

$\sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2 \sin\frac{5\alpha-3\alpha}{2} \cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2} = 2 \sin\frac{2\alpha}{2} \cos\frac{8\alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 4\alpha$.

Ответ: $2 \sin \alpha \cos 4\alpha$.

в) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

В данном выражении $x = 3\alpha$ и $y = \alpha$. Подставляем в формулу:

$\cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos\frac{4\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha$.

Ответ: $2 \cos 2\alpha \cos \alpha$.

г) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.

Здесь $x = \alpha$ и $y = 7\alpha$. Применяем формулу:

$\cos \alpha - \cos 7\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+7\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-7\alpha}{2} = -2 \sin\frac{8\alpha}{2} \sin\frac{-6\alpha}{2} = -2 \sin 4\alpha \sin(-3\alpha)$.

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-z) = -\sin z$. Поэтому выражение упрощается:

$-2 \sin 4\alpha (-\sin 3\alpha) = 2 \sin 4\alpha \sin 3\alpha$.

Ответ: $2 \sin 4\alpha \sin 3\alpha$.

д) Для преобразования суммы тангенсов в частное используется формула: $\text{tg } x + \text{tg } y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$.

В данном случае $x = 5\alpha$ и $y = 3\alpha$. Подставляем значения:

$\text{tg } 5\alpha + \text{tg } 3\alpha = \frac{\sin(5\alpha+3\alpha)}{\cos 5\alpha \cos 3\alpha} = \frac{\sin 8\alpha}{\cos 5\alpha \cos 3\alpha}$.

Ответ: $\frac{\sin 8\alpha}{\cos 5\alpha \cos 3\alpha}$.

е) Для преобразования разности тангенсов в частное используется формула: $\text{tg } x - \text{tg } y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$.

Здесь $x = 10\alpha$ и $y = 9\alpha$. Применяем формулу:

$\text{tg } 10\alpha - \text{tg } 9\alpha = \frac{\sin(10\alpha-9\alpha)}{\cos 10\alpha \cos 9\alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos 10\alpha \cos 9\alpha}$.

Ответ: $\frac{\sin \alpha}{\cos 10\alpha \cos 9\alpha}$.