Номер 739, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 739, страница 212.

Условие.

739. Верно ли равенство:

а) $\sin 10^{\circ} + \sin 50^{\circ} = \cos 20^{\circ};$

б) $\sin 80^{\circ} - \sin 20^{\circ} = \sin 40^{\circ};$

в) $\cos \frac{7\pi}{24} + \cos \frac{\pi}{24} = \cos \frac{\pi}{8};$

г) $\cos \frac{7\pi}{18} - \sin \frac{4\pi}{9} = -\sin \frac{2\pi}{9};$

д) $\sin 40^{\circ} + \sin 20^{\circ} - 2\cos 10^{\circ} = -\cos 10^{\circ};$

е) $\operatorname{tg} 43^{\circ} + \operatorname{tg} 17^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 47^{\circ} \cdot \cos 17^{\circ}}?$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для проверки равенства преобразуем его левую часть, используя формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ \sin 10° + \sin 50° = 2 \sin\frac{10°+50°}{2} \cos\frac{50°-10°}{2} = 2 \sin 30° \cos 20° $.

Поскольку $ \sin 30° = \frac{1}{2} $, выражение упрощается до $ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20° = \cos 20° $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

б) Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

$ \sin 80° - \sin 20° = 2 \sin\frac{80°-20°}{2} \cos\frac{80°+20°}{2} = 2 \sin 30° \cos 50° $.

Так как $ \sin 30° = \frac{1}{2} $, получаем $ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 50° = \cos 50° $.

Используем формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(90°-\alpha) $. Тогда $ \cos 50° = \sin(90°-50°) = \sin 40° $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

в) Преобразуем левую часть равенства, используя формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ \cos \frac{7\pi}{24} + \cos \frac{\pi}{24} = 2 \cos\frac{\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{24}}{2} \cos\frac{\frac{7\pi}{24}-\frac{\pi}{24}}{2} = 2 \cos\frac{\frac{8\pi}{24}}{2} \cos\frac{\frac{6\pi}{24}}{2} = 2 \cos\frac{\pi}{6} \cos\frac{\pi}{8} $.

Поскольку $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем $ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{3} \cos\frac{\pi}{8} $.

Правая часть равенства равна $ \cos\frac{\pi}{8} $. Так как $ \sqrt{3} \neq 1 $ и $ \cos\frac{\pi}{8} \neq 0 $, то $ \sqrt{3} \cos\frac{\pi}{8} \neq \cos\frac{\pi}{8} $.

Левая часть не равна правой, следовательно, равенство неверно.

Ответ: Неверно.

г) Для преобразования левой части используем формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $.

$ \cos\frac{7\pi}{18} = \sin(\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{18}) = \sin(\frac{9\pi-7\pi}{18}) = \sin\frac{2\pi}{18} = \sin\frac{\pi}{9} $.

Тогда левая часть примет вид: $ \sin\frac{\pi}{9} - \sin\frac{4\pi}{9} $.

Применим формулу разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

$ \sin\frac{\pi}{9} - \sin\frac{4\pi}{9} = 2 \sin\frac{\frac{\pi}{9}-\frac{4\pi}{9}}{2} \cos\frac{\frac{\pi}{9}+\frac{4\pi}{9}}{2} = 2 \sin(-\frac{\pi}{6}) \cos\frac{5\pi}{18} $.

Используя нечетность синуса и значение $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, получаем $ -2 \sin\frac{\pi}{6} \cos\frac{5\pi}{18} = -2 \cdot \frac{1}{2} \cos\frac{5\pi}{18} = -\cos\frac{5\pi}{18} $.

Правая часть равна $ -\sin\frac{2\pi}{9} $. Равенство верно, если $ \cos\frac{5\pi}{18} = \sin\frac{2\pi}{9} $.

Так как $ \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi}{9} = \frac{5\pi}{18} + \frac{4\pi}{18} = \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2} $, то по формуле приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $ это соотношение верно.

Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Верно.

д) Преобразуем левую часть равенства. Применим к первым двум слагаемым формулу суммы синусов.

$ \sin 40° + \sin 20° = 2 \sin\frac{40°+20°}{2} \cos\frac{40°-20°}{2} = 2 \sin 30° \cos 10° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 10° = \cos 10° $.

Подставим полученный результат в левую часть исходного равенства:

$ (\sin 40° + \sin 20°) - 2\cos 10° = \cos 10° - 2\cos 10° = -\cos 10° $.

Левая часть равна правой, следовательно, равенство верно.

Ответ: Верно.

е) Преобразуем левую часть, используя формулу суммы тангенсов $ \text{tg } \alpha + \text{tg } \beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $.

$ \text{tg } 43° + \text{tg } 17° = \frac{\sin(43°+17°)}{\cos 43° \cos 17°} = \frac{\sin 60°}{\cos 43° \cos 17°} $.

Поскольку $ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $, левая часть равна $ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 43° \cos 17°} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 43° \cos 17°} $.

Правая часть равенства равна $ \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 47° \cos 17°} $.

Равенство будет верным, если $ \cos 43° = \sin 47° $.

По формуле приведения $ \sin \alpha = \cos(90°-\alpha) $, имеем $ \sin 47° = \cos(90°-47°) = \cos 43° $.

Знаменатели дробей равны, значит, левая часть равна правой, и равенство верно.

Ответ: Верно.