Номер 745, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 745, страница 213.

Условие.

745. Упростите выражение:

а) $sin^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right)$;

б) $cos^2\left(\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}\right) - cos^2\left(\frac{11\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Исходное выражение: $\sin^2(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) - \sin^2(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов синусов: $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$.

В данном случае, пусть $A = \frac{5\pi}{4} + 2\alpha$ и $B = \frac{5\pi}{4} - 2\alpha$. Тогда наше выражение имеет вид $\sin^2(B) - \sin^2(A)$, что равно $-\sin(A+B)\sin(A-B)$.

Найдем сумму и разность аргументов $A$ и $B$:

$A+B = (\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) + (\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$

$A-B = (\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) - (\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) = 4\alpha$

Подставим полученные значения в формулу. Исходное выражение равно:

$-\sin(\frac{5\pi}{2})\sin(4\alpha)$

Теперь вычислим значение $\sin(\frac{5\pi}{2})$. Используя периодичность синуса:

$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Подставив это значение, получаем:

$-1 \cdot \sin(4\alpha) = -\sin(4\alpha)$

Ответ: $-\sin(4\alpha)$.

б) Исходное выражение: $\cos^2(\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}) - \cos^2(\frac{11\pi}{8} + \frac{\alpha}{2})$.

Для упрощения применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

$\cos^2(\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(2(\frac{3\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}))}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{3\pi}{4} - \alpha)}{2}$

$\cos^2(\frac{11\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(2(\frac{11\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}))}{2} = \frac{1 + \cos(\frac{11\pi}{4} + \alpha)}{2}$

Подставим эти выражения в исходное:

$\frac{1 + \cos(\frac{3\pi}{4} - \alpha)}{2} - \frac{1 + \cos(\frac{11\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(\frac{3\pi}{4} - \alpha) - \cos(\frac{11\pi}{4} + \alpha))$

Упростим аргумент второго косинуса, используя периодичность: $\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi+3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$.

$\cos(\frac{11\pi}{4} + \alpha) = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{4} + \alpha)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{2}(\cos(\frac{3\pi}{4} - \alpha) - \cos(\frac{3\pi}{4} + \alpha))$

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos y - \cos x = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{y-x}{2})$.

Пусть $x = \frac{3\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{3\pi}{4} - \alpha$.

$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{3\pi}{4} + \alpha + \frac{3\pi}{4} - \alpha}{2} = \frac{\frac{6\pi}{4}}{2} = \frac{3\pi}{4}$

$\frac{y-x}{2} = \frac{\frac{3\pi}{4} - \alpha - (\frac{3\pi}{4} + \alpha)}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha$

Подставляем в выражение:

$\frac{1}{2}(-2\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(-\alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(-\alpha)$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.

Выражение становится $\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(\alpha)$.

Вычислим $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Окончательный результат: $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\alpha)$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\alpha)$.