Номер 747, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 747, страница 213.

Условие.

747. Докажите тождество:

a) $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)); $

б) $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)); $

в) $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)). $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, используя формулы синуса суммы и синуса разности углов. Эти формулы известны как формулы сложения для тригонометрических функций:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти выражения в правую часть исходного равенства:

$\frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) = \frac{1}{2}((\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta))$

Упростим выражение в скобках, приведя подобные слагаемые. Члены $\cos\alpha \sin\beta$ и $-\cos\alpha \sin\beta$ взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{2}(\sin\alpha \cos\beta + \sin\alpha \cos\beta) = \frac{1}{2}(2\sin\alpha \cos\beta)$

В результате получаем:

$\frac{1}{2}(2\sin\alpha \cos\beta) = \sin\alpha \cos\beta$

Мы преобразовали правую часть тождества к левой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства этого тождества также преобразуем правую часть. Будем использовать формулы косинуса разности и косинуса суммы углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в правую часть доказываемого равенства:

$\frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \frac{1}{2}((\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Члены $\cos\alpha \cos\beta$ и $-\cos\alpha \cos\beta$ взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{2}(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \frac{1}{2}(\sin\alpha \sin\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \frac{1}{2}(2\sin\alpha \sin\beta)$

В итоге получаем:

$\frac{1}{2}(2\sin\alpha \sin\beta) = \sin\alpha \sin\beta$

Полученное выражение совпадает с левой частью тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Докажем третье тождество, преобразовав его правую часть с помощью тех же формул косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Подставим их в правую часть равенства:

$\frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) = \frac{1}{2}((\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta))$

Упростим выражение в скобках. На этот раз члены $\sin\alpha \sin\beta$ и $-\sin\alpha \sin\beta$ взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{2}(\cos\alpha \cos\beta + \cos\alpha \cos\beta) = \frac{1}{2}(2\cos\alpha \cos\beta)$

В результате получаем:

$\frac{1}{2}(2\cos\alpha \cos\beta) = \cos\alpha \cos\beta$

Правая часть тождества равна левой, что доказывает его верность.

Ответ: Тождество доказано.