Номер 747, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 747, страница 213.
№747 (с. 213)
Условие. №747 (с. 213)
скриншот условия

747. Докажите тождество:
a) $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)); $
б) $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)); $
в) $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)). $
Решение. №747 (с. 213)


Решение 2 (rus). №747 (с. 213)
а) Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, используя формулы синуса суммы и синуса разности углов. Эти формулы известны как формулы сложения для тригонометрических функций:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
Подставим эти выражения в правую часть исходного равенства:
$\frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) = \frac{1}{2}((\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta))$
Упростим выражение в скобках, приведя подобные слагаемые. Члены $\cos\alpha \sin\beta$ и $-\cos\alpha \sin\beta$ взаимно уничтожаются:
$\frac{1}{2}(\sin\alpha \cos\beta + \sin\alpha \cos\beta) = \frac{1}{2}(2\sin\alpha \cos\beta)$
В результате получаем:
$\frac{1}{2}(2\sin\alpha \cos\beta) = \sin\alpha \cos\beta$
Мы преобразовали правую часть тождества к левой части, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.
б) Для доказательства этого тождества также преобразуем правую часть. Будем использовать формулы косинуса разности и косинуса суммы углов:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
Подставим эти формулы в правую часть доказываемого равенства:
$\frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) = \frac{1}{2}((\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta))$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Члены $\cos\alpha \cos\beta$ и $-\cos\alpha \cos\beta$ взаимно уничтожаются:
$\frac{1}{2}(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \frac{1}{2}(\sin\alpha \sin\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \frac{1}{2}(2\sin\alpha \sin\beta)$
В итоге получаем:
$\frac{1}{2}(2\sin\alpha \sin\beta) = \sin\alpha \sin\beta$
Полученное выражение совпадает с левой частью тождества, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
в) Докажем третье тождество, преобразовав его правую часть с помощью тех же формул косинуса суммы и разности:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
Подставим их в правую часть равенства:
$\frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) = \frac{1}{2}((\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta))$
Упростим выражение в скобках. На этот раз члены $\sin\alpha \sin\beta$ и $-\sin\alpha \sin\beta$ взаимно уничтожаются:
$\frac{1}{2}(\cos\alpha \cos\beta + \cos\alpha \cos\beta) = \frac{1}{2}(2\cos\alpha \cos\beta)$
В результате получаем:
$\frac{1}{2}(2\cos\alpha \cos\beta) = \cos\alpha \cos\beta$
Правая часть тождества равна левой, что доказывает его верность.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 747 расположенного на странице 213 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №747 (с. 213), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.