Номер 753, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 753, страница 214.

Условие.

753. Докажите, что верно равенство:

а) $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{-2}{\cos 2\alpha}; $

б) $ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{4} - \alpha\right) + \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{2}{\cos 2\alpha}; $

в) $ \frac{\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \text{ctg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)} = \sin 2\alpha. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой тангенса суммы $tg(x+y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x)tg(y)}$, а также значениями $tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$ и $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Сначала преобразуем $tg(\frac{3\pi}{4} + \alpha)$:

$tg(\frac{3\pi}{4} + \alpha) = \frac{tg(\frac{3\pi}{4}) + tg(\alpha)}{1 - tg(\frac{3\pi}{4})tg(\alpha)} = \frac{-1 + tg(\alpha)}{1 - (-1) \cdot tg(\alpha)} = \frac{tg(\alpha) - 1}{1 + tg(\alpha)}$

Затем преобразуем $tg(\frac{\pi}{4} + \alpha)$:

$tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{tg(\frac{\pi}{4}) + tg(\alpha)}{1 - tg(\frac{\pi}{4})tg(\alpha)} = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - 1 \cdot tg(\alpha)} = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$

Теперь выполним вычитание:

$tg(\frac{3\pi}{4} + \alpha) - tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{tg(\alpha) - 1}{1 + tg(\alpha)} - \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$

Приведем к общему знаменателю $(1 + tg(\alpha))(1 - tg(\alpha)) = 1 - tg^2(\alpha)$:

$\frac{(tg(\alpha) - 1)(1 - tg(\alpha)) - (1 + tg(\alpha))(1 + tg(\alpha))}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{-(1 - tg(\alpha))^2 - (1 + tg(\alpha))^2}{1 - tg^2(\alpha)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{-(1 - 2tg(\alpha) + tg^2(\alpha)) - (1 + 2tg(\alpha) + tg^2(\alpha))}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{-1 + 2tg(\alpha) - tg^2(\alpha) - 1 - 2tg(\alpha) - tg^2(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Упростим числитель:

$\frac{-2 - 2tg^2(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{-2(1 + tg^2(\alpha))}{1 - tg^2(\alpha)}$

Вспомним формулу косинуса двойного угла, выраженную через тангенс: $cos(2\alpha) = \frac{1 - tg^2(\alpha)}{1 + tg^2(\alpha)}$.

Тогда наше выражение можно переписать как:

$\frac{-2}{\frac{1 - tg^2(\alpha)}{1 + tg^2(\alpha)}} = \frac{-2}{cos(2\alpha)}$

Таким образом, левая часть равенства равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулами котангенса суммы и разности $ctg(x \pm y) = \frac{ctg(x)ctg(y) \mp 1}{ctg(y) \pm ctg(x)}$ и значением $ctg(\frac{5\pi}{4}) = ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Преобразуем первое слагаемое:

$ctg(\frac{5\pi}{4} - \alpha) = \frac{ctg(\frac{5\pi}{4})ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - ctg(\frac{5\pi}{4})} = \frac{1 \cdot ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1} = \frac{ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1}$

Преобразуем второе слагаемое:

$ctg(\frac{5\pi}{4} + \alpha) = \frac{ctg(\frac{5\pi}{4})ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + ctg(\frac{5\pi}{4})} = \frac{1 \cdot ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + 1} = \frac{ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + 1}$

Теперь сложим полученные выражения:

$\frac{ctg(\alpha) + 1}{ctg(\alpha) - 1} + \frac{ctg(\alpha) - 1}{ctg(\alpha) + 1} = \frac{(ctg(\alpha) + 1)^2 + (ctg(\alpha) - 1)^2}{(ctg(\alpha) - 1)(ctg(\alpha) + 1)}$

Раскроем скобки в числителе и свернем знаменатель по формуле разности квадратов:

$\frac{(ctg^2(\alpha) + 2ctg(\alpha) + 1) + (ctg^2(\alpha) - 2ctg(\alpha) + 1)}{ctg^2(\alpha) - 1} = \frac{2ctg^2(\alpha) + 2}{ctg^2(\alpha) - 1} = \frac{2(1 + ctg^2(\alpha))}{ctg^2(\alpha) - 1}$

Вспомним формулу косинуса двойного угла, выраженную через котангенс: $cos(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{ctg^2(\alpha) + 1}$.

Тогда наше выражение можно переписать как:

$\frac{2}{\frac{ctg^2(\alpha) - 1}{1 + ctg^2(\alpha)}} = \frac{2}{cos(2\alpha)}$

Таким образом, левая часть равенства равна правой. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

в)

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части равенства.

1. Числитель: $tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) - tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности. $tg(\frac{\pi}{4})=1$.

$tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)}$

$tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 - tg(\alpha)}{1 + tg(\alpha)}$

$tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) - tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 + tg(\alpha)}{1 - tg(\alpha)} - \frac{1 - tg(\alpha)}{1 + tg(\alpha)} = \frac{(1 + tg(\alpha))^2 - (1 - tg(\alpha))^2}{(1 - tg(\alpha))(1 + tg(\alpha))}$

В числителе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, а в знаменателе $a^2-b^2$:

$\frac{((1+tg\alpha)-(1-tg\alpha))((1+tg\alpha)+(1-tg\alpha))}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{(2tg(\alpha))(2)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{4tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Это выражение равно $2 \cdot \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = 2tg(2\alpha)$.

2. Знаменатель: $ctg(\frac{\pi}{4} + \alpha) - ctg(\alpha - \frac{\pi}{2})$.

Используем формулы приведения:

$ctg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = ctg(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Используем еще одну формулу приведения:

$ctg(\frac{\pi}{4} + \alpha) = tg(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$.

Тогда знаменатель принимает вид:

$tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) - (-tg(\alpha)) = tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) + tg(\alpha) = \frac{1 - tg(\alpha)}{1 + tg(\alpha)} + tg(\alpha)$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - tg(\alpha) + tg(\alpha)(1 + tg(\alpha))}{1 + tg(\alpha)} = \frac{1 - tg(\alpha) + tg(\alpha) + tg^2(\alpha)}{1 + tg(\alpha)} = \frac{1 + tg^2(\alpha)}{1 + tg(\alpha)}$

3. Преобразуем всю дробь.

$\frac{Числитель}{Знаменатель} = \frac{2tg(2\alpha)}{\frac{1 + tg^2(\alpha)}{1 + tg(\alpha)}} = \frac{2 \cdot \frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)}}{\frac{1/cos^2(\alpha)}{1+sin(\alpha)/cos(\alpha)}} = \frac{2 \frac{2sin(\alpha)cos(\alpha)}{cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)}}{\frac{1/cos^2(\alpha)}{(cos(\alpha)+sin(\alpha))/cos(\alpha)}}$

$\frac{\frac{4sin(\alpha)cos(\alpha)}{(cos(\alpha)-sin(\alpha))(cos(\alpha)+sin(\alpha))}}{\frac{1}{cos(\alpha)(cos(\alpha)+sin(\alpha))}} = \frac{4sin(\alpha)cos(\alpha)}{(cos(\alpha)-sin(\alpha))(cos(\alpha)+sin(\alpha))} \cdot \frac{cos(\alpha)(cos(\alpha)+sin(\alpha))}{1} = \frac{4sin(\alpha)cos^2(\alpha)}{cos(\alpha)-sin(\alpha)}$

Полученное выражение не равно $sin(2\alpha)$ в общем случае. В условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Стандартное тождество, дающее в результате $sin(2\alpha)$, имеет вид:

$\frac{tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) - tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) + tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = sin(2\alpha)$

Докажем его. Числитель мы уже нашли, он равен $2tg(2\alpha)$.

Знаменатель исправленного выражения: $tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) + tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1+tg\alpha}{1-tg\alpha} + \frac{1-tg\alpha}{1+tg\alpha} = \frac{(1+tg\alpha)^2 + (1-tg\alpha)^2}{1-tg^2\alpha} = \frac{2+2tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}$.

Тогда вся дробь: $\frac{2tg(2\alpha)}{(2+2tg^2\alpha)/(1-tg^2\alpha)} = \frac{2\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}}{\frac{2(1+tg^2\alpha)}{1-tg^2\alpha}} = \frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha} = 2\frac{sin\alpha/cos\alpha}{1/cos^2\alpha} = 2sin\alpha cos\alpha = sin(2\alpha)$.

Ответ: Равенство в исходной формулировке неверно. При исправлении знаменателя на $tg(\frac{\pi}{4} + \alpha) + tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ равенство доказывается.