Номер 757, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 757, страница 215.

Условие.

757. В прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ известно, что $a + b - c = \sqrt{2}$. Докажите, что $c = \frac{2}{2 \cos(45^\circ - \alpha) - \sqrt{2}}$, где $\alpha$ - острый угол треугольника.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Без ограничения общности, пусть угол $\alpha$ является противолежащим катету $a$. Тогда, по определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, мы можем выразить катеты через гипотенузу и угол $\alpha$:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Подставим эти выражения в данное по условию равенство $a + b - c = \sqrt{2}$:

$c \cdot \sin(\alpha) + c \cdot \cos(\alpha) - c = \sqrt{2}$

Вынесем $c$ за скобки в левой части уравнения:

$c(\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1) = \sqrt{2}$

Отсюда выразим $c$:

$c = \frac{\sqrt{2}}{\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - 1}$

Теперь преобразуем выражение в знаменателе $\sin(\alpha) + \cos(\alpha)$, используя метод вспомогательного угла. Умножим и разделим выражение на $\sqrt{2}$:

$\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\alpha) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\alpha) \right)$

Поскольку $\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$\sqrt{2} \left( \cos(45^\circ)\cos(\alpha) + \sin(45^\circ)\sin(\alpha) \right)$

Используя формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$, получаем:

$\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = \sqrt{2}\cos(45^\circ - \alpha)$

Подставим это преобразованное выражение обратно в формулу для $c$:

$c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cos(45^\circ - \alpha) - 1}$

Чтобы привести это выражение к виду, указанному в условии задачи, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$c = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{(\sqrt{2}\cos(45^\circ - \alpha) - 1) \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{2\cos(45^\circ - \alpha) - \sqrt{2}}$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.