Номер 763, страница 215 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. IV. Тригонометрия - номер 763, страница 215.

Условие.

763. В прямой угол C вписана окружность радиуса 1 дм, касающаяся его сторон в точках K и M. К этой окружности проведена касательная AB, как показано на рисунке 74, причем $\angle CAB = \alpha$. Найдите $AB$.

Рисунок 74

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $O$ - центр вписанной окружности, а $r$ - ее радиус. По условию, $r = 1$ дм. Так как окружность вписана в прямой угол $C$ ($\angle C = 90^\circ$) и касается его сторон в точках $K$ и $M$, то радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам угла. То есть $OK \perp CK$ и $OM \perp CM$.

Рассмотрим четырехугольник $CKOM$. В нем три угла прямые: $\angle C = 90^\circ$, $\angle OKC = 90^\circ$ и $\angle OMC = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, следовательно, четвертый угол $\angle KOM$ также равен $90^\circ$. Кроме того, длины смежных сторон $OK$ и $OM$ равны радиусу окружности: $OK = OM = r = 1$ дм. Четырехугольник, у которого все углы прямые, а смежные стороны равны, является квадратом. Таким образом, $CKOM$ - это квадрат со стороной 1 дм, и $CK = CM = 1$ дм.

Прямая $AB$ является касательной к окружности. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны. Следовательно, если $P$ - точка касания прямой $AB$ с окружностью, то $AK = AP$ и $BM = BP$.

Длина отрезка $AB$ складывается из длин отрезков $AP$ и $BP$: $AB = AP + BP$ Используя равенства выше, можем записать: $AB = AK + BM$

Из рисунка видно, что точка $A$ лежит на отрезке $CK$, а точка $B$ - на отрезке $CM$. Это означает, что $CK = CA + AK$ и $CM = CB + BM$. Так как $CK=1$ и $CM=1$, мы можем выразить длины отрезков $AK$ и $BM$: $AK = 1 - CA$ $BM = 1 - CB$

Подставим эти выражения в формулу для длины $AB$: $AB = (1 - CA) + (1 - CB) = 2 - (CA + CB)$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и, по условию, $\angle CAB = \alpha$. Из определений синуса и косинуса для острого угла в прямоугольном треугольнике следуют соотношения: $\cos \alpha = \frac{CA}{AB} \implies CA = AB \cdot \cos \alpha$ $\sin \alpha = \frac{CB}{AB} \implies CB = AB \cdot \sin \alpha$

Теперь подставим выражения для $CA$ и $CB$ в полученную ранее формулу для $AB$: $AB = 2 - (AB \cdot \cos \alpha + AB \cdot \sin \alpha)$

Решим это уравнение относительно $AB$. Вынесем $AB$ за скобки в правой части: $AB = 2 - AB(\cos \alpha + \sin \alpha)$

Перенесем слагаемое, содержащее $AB$, из правой части в левую: $AB + AB(\cos \alpha + \sin \alpha) = 2$

Вынесем $AB$ за скобки в левой части: $AB(1 + \cos \alpha + \sin \alpha) = 2$

Наконец, найдем $AB$, разделив обе части уравнения на выражение в скобках: $AB = \frac{2}{1 + \cos \alpha + \sin \alpha}$

Ответ: $AB = \frac{2}{1 + \cos \alpha + \sin \alpha}$ дм.