Номер 769, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 769, страница 218.

Условие.

769. Сократите дробь:

а) $\frac{\sin 6\alpha - \sin 2\alpha \cdot \cos 4\alpha}{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha}$;

б) $\frac{\cos 4\alpha - \cos 8\alpha}{\cos 4\alpha - \cos 2\alpha \cdot \cos 6\alpha}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $ \frac{\sin 6\alpha - \sin 2\alpha \cdot \cos 4\alpha}{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha} $

Преобразуем числитель дроби, используя формулу синуса суммы углов $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $. Представим $ \sin 6\alpha $ как $ \sin(2\alpha + 4\alpha) $:

$ \sin 6\alpha = \sin(2\alpha + 4\alpha) = \sin 2\alpha \cos 4\alpha + \cos 2\alpha \sin 4\alpha $.

Подставим это выражение в числитель:

$ \sin 6\alpha - \sin 2\alpha \cos 4\alpha = (\sin 2\alpha \cos 4\alpha + \cos 2\alpha \sin 4\alpha) - \sin 2\alpha \cos 4\alpha = \cos 2\alpha \sin 4\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель дроби, используя формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\frac{6\alpha+2\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{\cos 2\alpha \sin 4\alpha}{2 \sin 4\alpha \cos 2\alpha} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) $ \frac{\cos 4\alpha - \cos 8\alpha}{\cos 4\alpha - \cos 2\alpha \cdot \cos 6\alpha} $

Преобразуем числитель дроби, используя формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2} $:

$ \cos 4\alpha - \cos 8\alpha = -2 \sin\frac{4\alpha+8\alpha}{2} \sin\frac{4\alpha-8\alpha}{2} = -2 \sin(6\alpha) \sin(-2\alpha) = 2 \sin 6\alpha \sin 2\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель дроби. Для этого используем формулу косинуса разности углов $ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $. Представим $ \cos 4\alpha $ как $ \cos(6\alpha - 2\alpha) $:

$ \cos 4\alpha = \cos(6\alpha - 2\alpha) = \cos 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 6\alpha \sin 2\alpha $.

Подставим это выражение в знаменатель:

$ \cos 4\alpha - \cos 2\alpha \cos 6\alpha = (\cos 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 6\alpha \sin 2\alpha) - \cos 2\alpha \cos 6\alpha = \sin 6\alpha \sin 2\alpha $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим:

$ \frac{2 \sin 6\alpha \sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 2\alpha} = 2 $.

Ответ: $ 2 $.