Номер 774, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 774, страница 218.

Условие.

774. Вычислите:

a) $2\sin 46^\circ \cdot \cos 16^\circ - \cos 28^\circ$;

б) $2\sin(-25^\circ) \cdot \sin 55^\circ - \sin 10^\circ$;

в) $\cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ$;

г) $\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $2\sin 46^\circ \cdot \cos 16^\circ - \cos 28^\circ$
Применим формулу преобразования произведения в сумму: $2\sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.
Для $\alpha = 46^\circ$ и $\beta = 16^\circ$ получаем:
$2\sin 46^\circ \cos 16^\circ = \sin(46^\circ + 16^\circ) + \sin(46^\circ - 16^\circ) = \sin 62^\circ + \sin 30^\circ$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\sin 62^\circ + \sin 30^\circ) - \cos 28^\circ$.
Мы знаем, что значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Используем формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$.
Тогда $\sin 62^\circ = \cos(90^\circ - 62^\circ) = \cos 28^\circ$.
Подставляем найденные значения в выражение:
$\cos 28^\circ + \frac{1}{2} - \cos 28^\circ = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $2\sin(-25^\circ) \cdot \sin 55^\circ - \sin 10^\circ$
Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$2\sin(-25^\circ) \sin 55^\circ = -2\sin 25^\circ \sin 55^\circ$.
Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму: $2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.
Для $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 55^\circ$ получаем:
$-2\sin 25^\circ \sin 55^\circ = -(\cos(25^\circ - 55^\circ) - \cos(25^\circ + 55^\circ)) = -(\cos(-30^\circ) - \cos(80^\circ))$.
Поскольку косинус является четной функцией, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, то $\cos(-30^\circ) = \cos 30^\circ$.
Выражение принимает вид: $-(\cos 30^\circ - \cos 80^\circ) = -\cos 30^\circ + \cos 80^\circ$.
Подставим это в исходное выражение:
$-\cos 30^\circ + \cos 80^\circ - \sin 10^\circ$.
Мы знаем, что $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$.
Тогда $\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ$.
Подставляем найденные значения:
$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 10^\circ - \sin 10^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $\cos 10^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ$
Сгруппируем множители и применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.
Преобразуем произведение $\cos 50^\circ \cos 70^\circ$:
$\cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{1}{2}(\cos(50^\circ+70^\circ) + \cos(50^\circ-70^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 120^\circ + \cos(-20^\circ))$.
Знаем, что $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ и $\cos(-20^\circ) = \cos 20^\circ$ (так как косинус - четная функция).
$\cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + \cos 20^\circ)$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos 10^\circ \cdot \frac{1}{2}(-\frac{1}{2} + \cos 20^\circ) = -\frac{1}{4}\cos 10^\circ + \frac{1}{2}\cos 10^\circ \cos 20^\circ$.
Снова применим формулу произведения косинусов для $\cos 10^\circ \cos 20^\circ$:
$\frac{1}{2}\cos 10^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\cos(10^\circ+20^\circ) + \cos(10^\circ-20^\circ)) = \frac{1}{4}(\cos 30^\circ + \cos(-10^\circ)) = \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 10^\circ)$.
Подставим это обратно в выражение:
$-\frac{1}{4}\cos 10^\circ + \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 10^\circ) = -\frac{1}{4}\cos 10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4}\cos 10^\circ$.
Члены, содержащие $\cos 10^\circ$, взаимно уничтожаются:
$\frac{\sqrt{3}}{8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$

г) $\sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ$
Преобразуем произведение первых двух множителей, используя формулу $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
$\sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos(40^\circ-20^\circ) - \cos(40^\circ+20^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \cos 60^\circ)$.
Поскольку $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$\sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2})$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{2}(\cos 20^\circ - \frac{1}{2}) \sin 80^\circ = \frac{1}{2}\cos 20^\circ \sin 80^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ$.
Теперь преобразуем произведение $\sin 80^\circ \cos 20^\circ$ по формуле $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
$\sin 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}(\sin(80^\circ+20^\circ) + \sin(80^\circ-20^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 100^\circ + \sin 60^\circ)$.
Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, имеем $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.
Следовательно, $\sin 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}(\sin 80^\circ + \sin 60^\circ)$.
Подставим это обратно в наше выражение:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin 80^\circ + \sin 60^\circ) - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4}\sin 60^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ$.
Члены с $\sin 80^\circ$ сокращаются, и остается:
$\frac{1}{4}\sin 60^\circ$.
Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем окончательный результат:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$