Номер 780, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 780, страница 219.

Условие.

780. Из всех треугольников со стороной $a$ и противолежащим ей углом $\alpha$, вписанных в данную окружность (рисунок 75), найдите треугольник с наибольшим периметром.

Рисунок 75

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность. По условию задачи, сторона $BC = a$ и противолежащий ей угол $\angle BAC = \alpha$ являются фиксированными величинами для всех рассматриваемых треугольников.

Согласно следствию из теоремы синусов, радиус $R$ описанной около треугольника окружности связан со стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$ соотношением:$a = 2R \sin\alpha$Отсюда радиус $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$. Поскольку $a$ и $\alpha$ — постоянные величины, то и радиус $R$ описанной окружности также является постоянной величиной. Это означает, что все рассматриваемые треугольники вписаны в одну и ту же окружность. Вершина $A$ может перемещаться по дуге окружности, которая стягивается хордой $BC$.

Периметр треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $P = AB + AC + BC$. Обозначим длины сторон $AC = b$ и $AB = c$. Тогда периметр можно записать как:$P = a + b + c$Так как сторона $a$ постоянна, для нахождения треугольника с наибольшим периметром необходимо найти треугольник, у которого сумма длин сторон $b + c$ будет максимальной.

Воспользуемся теоремой синусов для сторон $b$ и $c$:$b = 2R \sin(\angle ABC)$$c = 2R \sin(\angle ACB)$

Тогда сумма сторон $b+c$ равна:$b + c = 2R (\sin(\angle ABC) + \sin(\angle ACB))$Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан):$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$$\alpha + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$Отсюда следует, что сумма углов $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \alpha$ является постоянной величиной для всех рассматриваемых треугольников.

Таким образом, задача сводится к нахождению максимума выражения $\sin(\angle ABC) + \sin(\angle ACB)$ при условии, что сумма углов $\angle ABC + \angle ACB$ постоянна. Для этого воспользуемся формулой преобразования суммы синусов в произведение:$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Применительно к нашим углам:$\sin(\angle ABC) + \sin(\angle ACB) = 2 \sin\frac{\angle ABC + \angle ACB}{2} \cos\frac{\angle ABC - \angle ACB}{2}$Подставим известное значение суммы углов:$\sin(\angle ABC) + \sin(\angle ACB) = 2 \sin\frac{180^\circ - \alpha}{2} \cos\frac{\angle ABC - \angle ACB}{2} = 2 \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) \cos\frac{\angle ABC - \angle ACB}{2}$Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$, получаем:$2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\angle ABC - \angle ACB}{2}$

Поскольку угол $\alpha$ постоянен, то множитель $2 \cos\frac{\alpha}{2}$ также является постоянной положительной величиной (так как $0 < \alpha < 180^\circ$, то $0 < \alpha/2 < 90^\circ$). Следовательно, вся сумма $b+c$ будет максимальной, когда множитель $\cos\frac{\angle ABC - \angle ACB}{2}$ достигает своего наибольшего возможного значения.

Наибольшее значение функции косинус равно 1. Это значение достигается, когда ее аргумент равен нулю:$\frac{\angle ABC - \angle ACB}{2} = 0$$\angle ABC - \angle ACB = 0$$\angle ABC = \angle ACB$

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. В нашем случае, так как углы при основании $BC$ равны, то противолежащие им стороны $AC$ и $AB$ также равны, то есть $b=c$.

Следовательно, из всех треугольников с заданной стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$ наибольший периметр будет иметь равнобедренный треугольник, у которого две другие стороны равны.

Ответ: Треугольник с наибольшим периметром — это равнобедренный треугольник со сторонами $b=c$, то есть треугольник, в котором стороны, прилежащие к углу $\alpha$, равны между собой.