Номер 776, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 776, страница 219.

Условие.

776. Представьте выражение в виде суммы тригонометрических функций:

а) $4\cos \frac{\alpha}{3} \cdot \cos \frac{\alpha}{4} \cdot \cos \frac{\alpha}{6}$;

б) $\cos^3\alpha$;

в) $\sin^3 2\alpha$;

г) $4\sin^2\alpha \cdot \cos \alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования произведения косинусов в сумму будем последовательно применять формулу $2\cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$.

Сначала сгруппируем множители: $4\cos\frac{\alpha}{3} \cos\frac{\alpha}{4} \cos\frac{\alpha}{6} = 2 \cos\frac{\alpha}{6} \cdot (2\cos\frac{\alpha}{3} \cos\frac{\alpha}{4})$.

Преобразуем выражение в скобках: $2\cos\frac{\alpha}{3} \cos\frac{\alpha}{4} = \cos(\frac{\alpha}{3} + \frac{\alpha}{4}) + \cos(\frac{\alpha}{3} - \frac{\alpha}{4}) = \cos(\frac{4\alpha+3\alpha}{12}) + \cos(\frac{4\alpha-3\alpha}{12}) = \cos\frac{7\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{12}$.

Подставим обратно и раскроем скобки: $2 \cos\frac{\alpha}{6} (\cos\frac{7\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{12}) = 2\cos\frac{\alpha}{6}\cos\frac{7\alpha}{12} + 2\cos\frac{\alpha}{6}\cos\frac{\alpha}{12}$.

Применим формулу преобразования произведения в сумму еще раз к каждому слагаемому:

Первое слагаемое: $2\cos\frac{7\alpha}{12}\cos\frac{\alpha}{6} = \cos(\frac{7\alpha}{12}+\frac{\alpha}{6}) + \cos(\frac{7\alpha}{12}-\frac{\alpha}{6}) = \cos(\frac{7\alpha+2\alpha}{12}) + \cos(\frac{7\alpha-2\alpha}{12}) = \cos\frac{9\alpha}{12} + \cos\frac{5\alpha}{12} = \cos\frac{3\alpha}{4} + \cos\frac{5\alpha}{12}$.

Второе слагаемое: $2\cos\frac{\alpha}{6}\cos\frac{\alpha}{12} = \cos(\frac{\alpha}{6}+\frac{\alpha}{12}) + \cos(\frac{\alpha}{6}-\frac{\alpha}{12}) = \cos(\frac{2\alpha+\alpha}{12}) + \cos(\frac{2\alpha-\alpha}{12}) = \cos\frac{3\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{12} = \cos\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{12}$.

Итоговое выражение является суммой полученных результатов: $\cos\frac{3\alpha}{4} + \cos\frac{5\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{12}$.

Ответ: $\cos\frac{\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{5\alpha}{12} + \cos\frac{3\alpha}{4}$.

б) Для преобразования куба косинуса в сумму используем формулу косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Выразим из этой формулы $\cos^3\alpha$:

$4\cos^3\alpha = \cos(3\alpha) + 3\cos\alpha$

$\cos^3\alpha = \frac{\cos(3\alpha) + 3\cos\alpha}{4} = \frac{1}{4}\cos(3\alpha) + \frac{3}{4}\cos\alpha$.

Ответ: $\frac{3}{4}\cos\alpha + \frac{1}{4}\cos(3\alpha)$.

в) Для преобразования куба синуса в сумму используем формулу синуса тройного угла: $\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Выразим из этой формулы $\sin^3 x$: $4\sin^3 x = 3\sin x - \sin(3x)$, откуда $\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin(3x)}{4}$.

В нашем случае аргумент равен $2\alpha$, поэтому подставим $x = 2\alpha$ в полученную формулу:

$\sin^3(2\alpha) = \frac{3\sin(2\alpha) - \sin(3 \cdot 2\alpha)}{4} = \frac{3}{4}\sin(2\alpha) - \frac{1}{4}\sin(6\alpha)$.

Ответ: $\frac{3}{4}\sin(2\alpha) - \frac{1}{4}\sin(6\alpha)$.

г) Преобразуем выражение, используя формулу понижения степени для синуса $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.

$4\sin^2\alpha \cdot \cos\alpha = 4 \left( \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} \right) \cos\alpha = 2(1-\cos(2\alpha))\cos\alpha = 2\cos\alpha - 2\cos(2\alpha)\cos\alpha$.

Теперь используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $2\cos x \cos y = \cos(x-y) + \cos(x+y)$:

$2\cos(2\alpha)\cos\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) + \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha + \cos(3\alpha)$.

Подставим полученный результат в наше выражение: $2\cos\alpha - (\cos\alpha + \cos(3\alpha)) = 2\cos\alpha - \cos\alpha - \cos(3\alpha) = \cos\alpha - \cos(3\alpha)$.

Ответ: $\cos\alpha - \cos(3\alpha)$.