Номер 776, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 776, страница 219.
№776 (с. 219)
Условие. №776 (с. 219)
скриншот условия

776. Представьте выражение в виде суммы тригонометрических функций:
а) $4\cos \frac{\alpha}{3} \cdot \cos \frac{\alpha}{4} \cdot \cos \frac{\alpha}{6}$;
б) $\cos^3\alpha$;
в) $\sin^3 2\alpha$;
г) $4\sin^2\alpha \cdot \cos \alpha$.
Решение. №776 (с. 219)


Решение 2 (rus). №776 (с. 219)
а) Для преобразования произведения косинусов в сумму будем последовательно применять формулу $2\cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$.
Сначала сгруппируем множители: $4\cos\frac{\alpha}{3} \cos\frac{\alpha}{4} \cos\frac{\alpha}{6} = 2 \cos\frac{\alpha}{6} \cdot (2\cos\frac{\alpha}{3} \cos\frac{\alpha}{4})$.
Преобразуем выражение в скобках: $2\cos\frac{\alpha}{3} \cos\frac{\alpha}{4} = \cos(\frac{\alpha}{3} + \frac{\alpha}{4}) + \cos(\frac{\alpha}{3} - \frac{\alpha}{4}) = \cos(\frac{4\alpha+3\alpha}{12}) + \cos(\frac{4\alpha-3\alpha}{12}) = \cos\frac{7\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{12}$.
Подставим обратно и раскроем скобки: $2 \cos\frac{\alpha}{6} (\cos\frac{7\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{12}) = 2\cos\frac{\alpha}{6}\cos\frac{7\alpha}{12} + 2\cos\frac{\alpha}{6}\cos\frac{\alpha}{12}$.
Применим формулу преобразования произведения в сумму еще раз к каждому слагаемому:
Первое слагаемое: $2\cos\frac{7\alpha}{12}\cos\frac{\alpha}{6} = \cos(\frac{7\alpha}{12}+\frac{\alpha}{6}) + \cos(\frac{7\alpha}{12}-\frac{\alpha}{6}) = \cos(\frac{7\alpha+2\alpha}{12}) + \cos(\frac{7\alpha-2\alpha}{12}) = \cos\frac{9\alpha}{12} + \cos\frac{5\alpha}{12} = \cos\frac{3\alpha}{4} + \cos\frac{5\alpha}{12}$.
Второе слагаемое: $2\cos\frac{\alpha}{6}\cos\frac{\alpha}{12} = \cos(\frac{\alpha}{6}+\frac{\alpha}{12}) + \cos(\frac{\alpha}{6}-\frac{\alpha}{12}) = \cos(\frac{2\alpha+\alpha}{12}) + \cos(\frac{2\alpha-\alpha}{12}) = \cos\frac{3\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{12} = \cos\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{12}$.
Итоговое выражение является суммой полученных результатов: $\cos\frac{3\alpha}{4} + \cos\frac{5\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{\alpha}{12}$.
Ответ: $\cos\frac{\alpha}{12} + \cos\frac{\alpha}{4} + \cos\frac{5\alpha}{12} + \cos\frac{3\alpha}{4}$.
б) Для преобразования куба косинуса в сумму используем формулу косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.
Выразим из этой формулы $\cos^3\alpha$:
$4\cos^3\alpha = \cos(3\alpha) + 3\cos\alpha$
$\cos^3\alpha = \frac{\cos(3\alpha) + 3\cos\alpha}{4} = \frac{1}{4}\cos(3\alpha) + \frac{3}{4}\cos\alpha$.
Ответ: $\frac{3}{4}\cos\alpha + \frac{1}{4}\cos(3\alpha)$.
в) Для преобразования куба синуса в сумму используем формулу синуса тройного угла: $\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$.
Выразим из этой формулы $\sin^3 x$: $4\sin^3 x = 3\sin x - \sin(3x)$, откуда $\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin(3x)}{4}$.
В нашем случае аргумент равен $2\alpha$, поэтому подставим $x = 2\alpha$ в полученную формулу:
$\sin^3(2\alpha) = \frac{3\sin(2\alpha) - \sin(3 \cdot 2\alpha)}{4} = \frac{3}{4}\sin(2\alpha) - \frac{1}{4}\sin(6\alpha)$.
Ответ: $\frac{3}{4}\sin(2\alpha) - \frac{1}{4}\sin(6\alpha)$.
г) Преобразуем выражение, используя формулу понижения степени для синуса $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$.
$4\sin^2\alpha \cdot \cos\alpha = 4 \left( \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} \right) \cos\alpha = 2(1-\cos(2\alpha))\cos\alpha = 2\cos\alpha - 2\cos(2\alpha)\cos\alpha$.
Теперь используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $2\cos x \cos y = \cos(x-y) + \cos(x+y)$:
$2\cos(2\alpha)\cos\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) + \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha + \cos(3\alpha)$.
Подставим полученный результат в наше выражение: $2\cos\alpha - (\cos\alpha + \cos(3\alpha)) = 2\cos\alpha - \cos\alpha - \cos(3\alpha) = \cos\alpha - \cos(3\alpha)$.
Ответ: $\cos\alpha - \cos(3\alpha)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 776 расположенного на странице 219 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №776 (с. 219), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.