Номер 771, страница 218 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 771, страница 218.

Условие.

771. Упростите выражение:

a) $\cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha - \beta) - \cos^2\alpha - \cos^2\beta;$

б) $\cos(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha - \beta) + \sin^2\alpha + \sin^2\beta.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $cos(\alpha + \beta) \cdot cos(\alpha - \beta) - cos^2\alpha - cos^2\beta$

Для упрощения данного выражения воспользуемся известной тригонометрической формулой произведения косинусов суммы и разности двух углов: $cos(\alpha + \beta) \cdot cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$(cos^2\alpha - sin^2\beta) - cos^2\alpha - cos^2\beta$

Теперь сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(cos^2\alpha - cos^2\alpha) - sin^2\beta - cos^2\beta = 0 - (sin^2\beta + cos^2\beta)$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $sin^2x + cos^2x = 1$. Применив его к нашему выражению, получаем:

$-(sin^2\beta + cos^2\beta) = -1$

Ответ: $-1$

б) $cos(\alpha + \beta) \cdot cos(\alpha - \beta) + sin^2\alpha + sin^2\beta$

Как и в предыдущем пункте, используем формулу $cos(\alpha + \beta) \cdot cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.

Подставляем это выражение в исходное:

$(cos^2\alpha - sin^2\beta) + sin^2\alpha + sin^2\beta$

Группируем и сокращаем подобные слагаемые:

$(cos^2\alpha + sin^2\alpha) + (-sin^2\beta + sin^2\beta)$

Применяем основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$ для первой скобки:

$1 + 0 = 1$

Ответ: $1$