Номер 777, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 777, страница 219.

Условие.

777. Найдите значение выражения:

a) $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) $, если $ \cos 2\alpha \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) = b $;

б) $ \cos\left(\frac{3\pi}{4} - 3\alpha\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4} + 3\alpha\right) $, если $ 4\sin 3\alpha \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) + \cos^2 3\alpha = b $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Требуется найти значение выражения $cos(\frac{\pi}{4} - 2\alpha) \cdot cos(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha)$, если известно, что $cos(2\alpha) \cdot sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = b$.
Сначала упростим данное условие. Используем формулу приведения $sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -cos(x)$.
$cos(2\alpha) \cdot sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = cos(2\alpha) \cdot (-cos(2\alpha)) = -cos^2(2\alpha)$.
Таким образом, условие принимает вид: $-cos^2(2\alpha) = b$, или $cos^2(2\alpha) = -b$.
Теперь упростим искомое выражение. Преобразуем второй множитель:
$cos(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) = cos(\pi + \frac{\pi}{4} + 2\alpha) = cos(\pi + (\frac{\pi}{4} + 2\alpha))$.
Используем формулу приведения $cos(\pi + x) = -cos(x)$:
$cos(\pi + (\frac{\pi}{4} + 2\alpha)) = -cos(\frac{\pi}{4} + 2\alpha)$.
Тогда исходное выражение становится:
$cos(\frac{\pi}{4} - 2\alpha) \cdot [-cos(\frac{\pi}{4} + 2\alpha)] = -[cos(\frac{\pi}{4} - 2\alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{4} + 2\alpha)]$.
Применим формулу произведения косинусов $cos(x-y) \cdot cos(x+y) = cos^2x - sin^2y$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 2\alpha$:
$-[cos^2(\frac{\pi}{4}) - sin^2(2\alpha)] = -[(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - sin^2(2\alpha)] = -[\frac{1}{2} - sin^2(2\alpha)] = sin^2(2\alpha) - \frac{1}{2}$.
Из основного тригонометрического тождества $sin^2(2\alpha) + cos^2(2\alpha) = 1$, выразим $sin^2(2\alpha)$:
$sin^2(2\alpha) = 1 - cos^2(2\alpha)$.
Подставим найденное ранее значение $cos^2(2\alpha) = -b$:
$sin^2(2\alpha) = 1 - (-b) = 1 + b$.
Наконец, подставим это значение в упрощенное выражение:
$sin^2(2\alpha) - \frac{1}{2} = (1 + b) - \frac{1}{2} = b + \frac{1}{2}$.

Альтернативный способ:
После упрощения исходного выражения до $-[cos(\frac{\pi}{4} - 2\alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{4} + 2\alpha)]$, можно использовать формулу произведения косинусов $cos(A)cos(B) = \frac{1}{2}(cos(A-B)+cos(A+B))$.
Получим: $-\frac{1}{2}[cos((\frac{\pi}{4}-2\alpha)-(\frac{\pi}{4}+2\alpha)) + cos((\frac{\pi}{4}-2\alpha)+(\frac{\pi}{4}+2\alpha))] = -\frac{1}{2}[cos(-4\alpha) + cos(\frac{\pi}{2})]$.
Так как $cos(-4\alpha)=cos(4\alpha)$ и $cos(\frac{\pi}{2})=0$, выражение равно $-\frac{1}{2}cos(4\alpha)$.
Используя формулу косинуса двойного угла $cos(4\alpha) = 2cos^2(2\alpha) - 1$ и условие $cos^2(2\alpha)=-b$, получаем:
$-\frac{1}{2}(2(-b)-1) = -\frac{1}{2}(-2b-1) = b + \frac{1}{2}$.

Ответ: $b + \frac{1}{2}$.

б) Требуется найти значение выражения $cos(\frac{3\pi}{4} - 3\alpha) \cdot cos(\frac{3\pi}{4} + 3\alpha)$, если известно, что $4sin(3\alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{2} - 3\alpha) + cos^2(3\alpha) = b$.
Сначала упростим данное условие. Используем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$.
$4sin(3\alpha) \cdot sin(3\alpha) + cos^2(3\alpha) = 4sin^2(3\alpha) + cos^2(3\alpha) = b$.
Применим основное тригонометрическое тождество $cos^2(3\alpha) = 1 - sin^2(3\alpha)$:
$4sin^2(3\alpha) + (1 - sin^2(3\alpha)) = b$
$3sin^2(3\alpha) + 1 = b$
$3sin^2(3\alpha) = b - 1$
$sin^2(3\alpha) = \frac{b-1}{3}$.
Теперь упростим искомое выражение. Применим формулу $cos(x-y) \cdot cos(x+y) = cos^2x - sin^2y$. В нашем случае $x = \frac{3\pi}{4}$ и $y = 3\alpha$:
$cos^2(\frac{3\pi}{4}) - sin^2(3\alpha)$.
Вычислим $cos^2(\frac{3\pi}{4})$:
$cos(\frac{3\pi}{4}) = cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$cos^2(\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, выражение равно:
$\frac{1}{2} - sin^2(3\alpha)$.
Подставим найденное ранее значение $sin^2(3\alpha) = \frac{b-1}{3}$:
$\frac{1}{2} - \frac{b-1}{3} = \frac{3 \cdot 1 - 2(b-1)}{6} = \frac{3 - 2b + 2}{6} = \frac{5 - 2b}{6}$.

Ответ: $\frac{5-2b}{6}$.