Номер 778, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 778, страница 219.
№778 (с. 219)
Условие. №778 (с. 219)
скриншот условия

778. Докажите, что $\cos 5^\circ \cdot \cos 55^\circ \cdot \cos 65^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}$.
Решение. №778 (с. 219)


Решение 2 (rus). №778 (с. 219)
Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть выражения как $L$.
$L = \cos 5^\circ \cdot \cos 55^\circ \cdot \cos 65^\circ$
Заметим, что углы $55^\circ$ и $65^\circ$ можно представить в виде разности и суммы с углом $60^\circ$: $55^\circ = 60^\circ - 5^\circ$ и $65^\circ = 60^\circ + 5^\circ$.
Тогда выражение принимает вид:
$L = \cos 5^\circ \cdot \cos(60^\circ - 5^\circ) \cdot \cos(60^\circ + 5^\circ)$
Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством, которое является следствием формулы тройного угла для косинуса:
$\cos x \cdot \cos(60^\circ - x) \cdot \cos(60^\circ + x) = \frac{1}{4}\cos(3x)$
Применим это тождество для нашего случая, где $x = 5^\circ$:
$L = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 5^\circ) = \frac{1}{4}\cos(15^\circ)$
Теперь необходимо найти точное значение $\cos 15^\circ$. Для этого воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
Представим $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$:
$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
Подставим табличные значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $45^\circ$:
$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Наконец, подставим найденное значение $\cos 15^\circ$ в наше выражение для $L$:
$L = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{16}$
Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили его правую часть. Это доказывает справедливость тождества.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 778 расположенного на странице 219 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №778 (с. 219), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.