Номер 778, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 778, страница 219.

Условие.

778. Докажите, что $\cos 5^\circ \cdot \cos 55^\circ \cdot \cos 65^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{16}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть выражения как $L$.

$L = \cos 5^\circ \cdot \cos 55^\circ \cdot \cos 65^\circ$

Заметим, что углы $55^\circ$ и $65^\circ$ можно представить в виде разности и суммы с углом $60^\circ$: $55^\circ = 60^\circ - 5^\circ$ и $65^\circ = 60^\circ + 5^\circ$.

Тогда выражение принимает вид:

$L = \cos 5^\circ \cdot \cos(60^\circ - 5^\circ) \cdot \cos(60^\circ + 5^\circ)$

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством, которое является следствием формулы тройного угла для косинуса:

$\cos x \cdot \cos(60^\circ - x) \cdot \cos(60^\circ + x) = \frac{1}{4}\cos(3x)$

Применим это тождество для нашего случая, где $x = 5^\circ$:

$L = \frac{1}{4}\cos(3 \cdot 5^\circ) = \frac{1}{4}\cos(15^\circ)$

Теперь необходимо найти точное значение $\cos 15^\circ$. Для этого воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Представим $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$:

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

Подставим табличные значения тригонометрических функций для углов $30^\circ$ и $45^\circ$:

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Наконец, подставим найденное значение $\cos 15^\circ$ в наше выражение для $L$:

$L = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{16}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства и получили его правую часть. Это доказывает справедливость тождества.

Ответ: Что и требовалось доказать.