Номер 775, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 775, страница 219.

Условие.

775. Докажите тождество:

а) $4\sin(\pi + \alpha) \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{3} + \alpha\right) \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) = \sin 3\alpha;$

б) $4\sin(45^{\circ} - \alpha) \cdot \sin(15^{\circ} + \alpha) \cdot \cos(15^{\circ} - \alpha) = \cos(45^{\circ} - 3\alpha).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Докажем тождество $4\sin(\pi + \alpha) \cdot \sin(\frac{4\pi}{3} + \alpha) \cdot \sin(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = \sin 3\alpha$.

Рассмотрим левую часть равенства. Последовательно применим формулы приведения к каждому из множителей.

1. $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ (синус отрицателен в III четверти).

2. $\sin(\frac{4\pi}{3} + \alpha) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3} + \alpha) = -\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.

3. $\sin(\frac{2\pi}{3} + \alpha) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ (синус положителен во II четверти).

Подставим преобразованные выражения в левую часть исходного тождества:

$4 \cdot (-\sin\alpha) \cdot (-\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha)) \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = 4\sin\alpha \cdot \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$.

Теперь воспользуемся формулой произведения синусов разности и суммы углов: $\sin(A - B)\sin(A + B) = \sin^2 A - \sin^2 B$.

В нашем случае $A = \frac{\pi}{3}$ и $B = \alpha$.

$\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2\alpha = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sin^2\alpha = \frac{3}{4} - \sin^2\alpha$.

Подставим это обратно в наше выражение:

$4\sin\alpha \cdot (\frac{3}{4} - \sin^2\alpha) = 4\sin\alpha \cdot \frac{3}{4} - 4\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Полученное выражение $3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ является формулой синуса тройного угла, то есть оно равно $\sin 3\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $4\sin(45^\circ - \alpha) \cdot \sin(15^\circ + \alpha) \cdot \cos(15^\circ - \alpha) = \cos(45^\circ - 3\alpha)$.

Рассмотрим левую часть равенства. Сгруппируем множители следующим образом:

$2\sin(45^\circ - \alpha) \cdot [2\sin(15^\circ + \alpha)\cos(15^\circ - \alpha)]$.

Применим к выражению в квадратных скобках формулу произведения синуса на косинус: $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Здесь $A = 15^\circ + \alpha$ и $B = 15^\circ - \alpha$.

$A+B = (15^\circ + \alpha) + (15^\circ - \alpha) = 30^\circ$.

$A-B = (15^\circ + \alpha) - (15^\circ - \alpha) = 2\alpha$.

Следовательно, $2\sin(15^\circ + \alpha)\cos(15^\circ - \alpha) = \sin(30^\circ) + \sin(2\alpha) = \frac{1}{2} + \sin(2\alpha)$.

Подставим полученный результат в исходное выражение для левой части:

$2\sin(45^\circ - \alpha) \cdot (\frac{1}{2} + \sin(2\alpha)) = \sin(45^\circ - \alpha) + 2\sin(45^\circ - \alpha)\sin(2\alpha)$.

Теперь ко второму слагаемому применим формулу произведения синусов: $2\sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$.

Здесь $X = 45^\circ - \alpha$ и $Y = 2\alpha$.

$X-Y = (45^\circ - \alpha) - 2\alpha = 45^\circ - 3\alpha$.

$X+Y = (45^\circ - \alpha) + 2\alpha = 45^\circ + \alpha$.

Значит, $2\sin(45^\circ - \alpha)\sin(2\alpha) = \cos(45^\circ - 3\alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)$.

Подставим это обратно в выражение:

$\sin(45^\circ - \alpha) + [\cos(45^\circ - 3\alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)] = \sin(45^\circ - \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ - 3\alpha)$.

Воспользуемся формулой приведения для кофункций: $\sin\theta = \cos(90^\circ - \theta)$.

$\sin(45^\circ - \alpha) = \cos(90^\circ - (45^\circ - \alpha)) = \cos(90^\circ - 45^\circ + \alpha) = \cos(45^\circ + \alpha)$.

Теперь наше выражение принимает вид:

$\cos(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ - 3\alpha) = 0 + \cos(45^\circ - 3\alpha) = \cos(45^\circ - 3\alpha)$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.