Номер 781, страница 219 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

29. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность. IV. Тригонометрия - номер 781, страница 219.

Условие.

781. Представьте в виде суммы тригонометрических функций первой степени произведение:

а) $4\sin 3\alpha \cdot \cos^2 3\alpha$;

б) $6\sin^2\alpha \cdot \cos^3\alpha$;

в) $32\sin^3\alpha \cdot \cos^3\alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования произведения $4\sin 3\alpha \cdot \cos^2 3\alpha$ воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и формулой преобразования произведения в сумму $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Перепишем исходное выражение, выделив множитель для применения формулы двойного угла:

$4\sin 3\alpha \cdot \cos^2 3\alpha = 2 \cos 3\alpha \cdot (2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha)$

Применим формулу синуса двойного угла к выражению в скобках, где аргументом является $3\alpha$:

$2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha$

Теперь наше выражение имеет вид произведения синуса и косинуса:

$2 \cos 3\alpha \cdot \sin 6\alpha = 2 \sin 6\alpha \cos 3\alpha$

Применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму, где $A=6\alpha$ и $B=3\alpha$:

$2 \sin 6\alpha \cos 3\alpha = \sin(6\alpha + 3\alpha) + \sin(6\alpha - 3\alpha) = \sin 9\alpha + \sin 3\alpha$

Ответ: $\sin 9\alpha + \sin 3\alpha$

б) Для преобразования произведения $6\sin^2\alpha \cdot \cos^3\alpha$ будем использовать формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ и формулу преобразования произведения косинусов в сумму $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.

Представим выражение в виде:

$6\sin^2\alpha \cos^3\alpha = 6\sin^2\alpha \cos^2\alpha \cos\alpha = 6(\sin\alpha\cos\alpha)^2\cos\alpha$

Используя $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$, получаем:

$6\left(\frac{\sin 2\alpha}{2}\right)^2\cos\alpha = 6 \frac{\sin^2 2\alpha}{4} \cos\alpha = \frac{3}{2}\sin^2 2\alpha \cos\alpha$

Теперь применим формулу понижения степени для $\sin^2 2\alpha$:

$\sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2\alpha)}{2} = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2}$

Подставим это в наше выражение:

$\frac{3}{2} \left(\frac{1 - \cos 4\alpha}{2}\right) \cos\alpha = \frac{3}{4}(1 - \cos 4\alpha)\cos\alpha = \frac{3}{4}\cos\alpha - \frac{3}{4}\cos 4\alpha \cos\alpha$

Осталось преобразовать произведение $\cos 4\alpha \cos\alpha$ в сумму, где $A=4\alpha$ и $B=\alpha$:

$\cos 4\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha + \alpha) + \cos(4\alpha - \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 5\alpha + \cos 3\alpha)$

Подставляем обратно и получаем окончательный результат:

$\frac{3}{4}\cos\alpha - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}(\cos 5\alpha + \cos 3\alpha) = \frac{3}{4}\cos\alpha - \frac{3}{8}\cos 5\alpha - \frac{3}{8}\cos 3\alpha$

Ответ: $\frac{3}{4}\cos\alpha - \frac{3}{8}\cos 3\alpha - \frac{3}{8}\cos 5\alpha$

в) Для преобразования произведения $32\sin^3\alpha \cdot \cos^3\alpha$ воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и формулой для куба синуса, которая выводится из формулы синуса тройного угла ($\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$): $\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}$.

Сгруппируем исходное выражение:

$32\sin^3\alpha \cos^3\alpha = 32(\sin\alpha\cos\alpha)^3$

Применим формулу синуса двойного угла:

$32\left(\frac{\sin 2\alpha}{2}\right)^3 = 32 \frac{\sin^3 2\alpha}{8} = 4\sin^3 2\alpha$

Теперь используем формулу для куба синуса, подставив $x = 2\alpha$:

$\sin^3 2\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin(3 \cdot 2\alpha)}{4} = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{4}$

Подставляем это в наше выражение:

$4 \cdot \left(\frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{4}\right) = 3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha$

Ответ: $3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha$