Номер 785, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 785, страница 221.

Условие.

785.1) В 2016 году на реке Есиль в городе Астане (с 2019 г. Нур-Султан) установлен уникальный фонтан «Солнце», который оснащен различными световыми эффектами. В частности, по его окружности время от времени движется световая дуга. Какой угол в радианах описывает любая ее светящаяся точка, совершая полтора оборота?

2) Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги. Найдите радианную и градусную меры одной из них, если вторая равна:

а) $\frac{\pi}{3}$; б) $\frac{5\pi}{6}$; в) $\frac{3\pi}{8}$; г) $\frac{2\pi}{9}$; д) $\frac{9\pi}{10}$; е) $\frac{7\pi}{12}$.

На изображении представлена фотография фонтана, а не рисунок, который можно конвертировать в SVG.

Фонтан «Солнце» на реке Есиль

Решение.

Решение 2 (rus).

1)

Один полный оборот по окружности соответствует углу в $2\pi$ радиан. Полтора оборота (то есть 1,5 оборота) соответствует углу, который в 1,5 раза больше.

Найдем искомый угол $\alpha$, который описывает светящаяся точка:

$\alpha = 1.5 \times 2\pi = 3\pi$ радиан.

Ответ: $3\pi$ радиан.

2)

Две точки A и B делят окружность на две дуги. Сумма радианных мер этих дуг равна полной окружности, то есть $2\pi$ радиан. Сумма их градусных мер равна $360^\circ$. Чтобы найти меру второй дуги, нужно из полной окружности ($2\pi$ или $360^\circ$) вычесть меру известной дуги. Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула: $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \times \frac{180^\circ}{\pi}$.

а)

Дана радианная мера одной дуги: $\frac{\pi}{3}$.

Найдем радианную меру второй дуги: $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Найдем градусную меру этой дуги: $\frac{5\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \times \frac{180^\circ}{3} = 5 \times 60^\circ = 300^\circ$.

Ответ: $\frac{5\pi}{3}$ радиан, $300^\circ$.

б)

Дана радианная мера одной дуги: $\frac{5\pi}{6}$.

Найдем радианную меру второй дуги: $2\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{12\pi - 5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

Найдем градусную меру этой дуги: $\frac{7\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \times \frac{180^\circ}{6} = 7 \times 30^\circ = 210^\circ$.

Ответ: $\frac{7\pi}{6}$ радиан, $210^\circ$.

в)

Дана радианная мера одной дуги: $\frac{3\pi}{8}$.

Найдем радианную меру второй дуги: $2\pi - \frac{3\pi}{8} = \frac{16\pi - 3\pi}{8} = \frac{13\pi}{8}$.

Найдем градусную меру этой дуги: $\frac{13\pi}{8} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{13 \times 180^\circ}{8} = \frac{13 \times 45^\circ}{2} = \frac{585^\circ}{2} = 292.5^\circ$.

Ответ: $\frac{13\pi}{8}$ радиан, $292.5^\circ$.

г)

Дана радианная мера одной дуги: $\frac{2\pi}{9}$.

Найдем радианную меру второй дуги: $2\pi - \frac{2\pi}{9} = \frac{18\pi - 2\pi}{9} = \frac{16\pi}{9}$.

Найдем градусную меру этой дуги: $\frac{16\pi}{9} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 16 \times \frac{180^\circ}{9} = 16 \times 20^\circ = 320^\circ$.

Ответ: $\frac{16\pi}{9}$ радиан, $320^\circ$.

д)

Дана радианная мера одной дуги: $\frac{9\pi}{10}$.

Найдем радианную меру второй дуги: $2\pi - \frac{9\pi}{10} = \frac{20\pi - 9\pi}{10} = \frac{11\pi}{10}$.

Найдем градусную меру этой дуги: $\frac{11\pi}{10} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 11 \times \frac{180^\circ}{10} = 11 \times 18^\circ = 198^\circ$.

Ответ: $\frac{11\pi}{10}$ радиан, $198^\circ$.

е)

Дана радианная мера одной дуги: $\frac{7\pi}{12}$.

Найдем радианную меру второй дуги: $2\pi - \frac{7\pi}{12} = \frac{24\pi - 7\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$.

Найдем градусную меру этой дуги: $\frac{17\pi}{12} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 17 \times \frac{180^\circ}{12} = 17 \times 15^\circ = 255^\circ$.

Ответ: $\frac{17\pi}{12}$ радиан, $255^\circ$.