Номер 788, страница 221 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 788, страница 221.

Условие.

788. Верно ли равенство:

a) $\sin^2 45^\circ - \sin^2 30^\circ = \cos^2 60^\circ - \cos^2 45^\circ$;

б) $1 + 2 \sin 100^\circ \cdot \cos 100^\circ = (\sin 100^\circ + \cos 100^\circ)^2$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Проверим верность равенства $sin^2 45° - sin^2 30° = cos^2 60° - cos^2 45°$. Для этого вычислим значения левой и правой частей равенства, используя табличные значения тригонометрических функций.

Вычислим значение левой части:

$sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin 30° = \frac{1}{2}$

$sin^2 45° - sin^2 30° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Вычислим значение правой части:

$cos 60° = \frac{1}{2}$

$cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos^2 60° - cos^2 45° = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}$

Сравниваем полученные результаты: левая часть равна $\frac{1}{4}$, а правая часть равна $-\frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4} \neq -\frac{1}{4}$

Так как левая и правая части не равны, данное равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

б) Проверим верность равенства $1 + 2sin 100° \cdot cos 100° = (sin 100° + cos 100°)^2$.

Для проверки преобразуем правую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(sin 100° + cos 100°)^2 = sin^2 100° + 2sin 100° \cdot cos 100° + cos^2 100°$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$(sin^2 100° + cos^2 100°) + 2sin 100° \cdot cos 100° = 1 + 2sin 100° \cdot cos 100°$

Полученное выражение полностью совпадает с левой частью исходного равенства.

$1 + 2sin 100° \cdot cos 100° = 1 + 2sin 100° \cdot cos 100°$

Следовательно, данное равенство верно.

Ответ: равенство верно.