Номер 789, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 789, страница 222.

Условие.

789. Найдите значения $x \in [0; 4\pi]$, при которых верно равенство:

a) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos x = \frac{1}{2}$;

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\cos x = -1$.

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Решим уравнение $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0; 4\pi]$. Общее решение этого уравнения записывается в виде двух серий, поскольку синус принимает одно и то же значение дважды на полном круге ($2\pi$):
1) $x = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $x = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$. Это соответствует двум полным оборотам на единичной окружности.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
при $n=0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
при $n=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.
Для второй серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$:
при $n=0$, $x = \frac{3\pi}{4}$.
при $n=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.
Следующие значения $n$ (например, $n=2$) дадут корни, выходящие за пределы отрезка $[0; 4\pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

б) Решим уравнение $cos x = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 4\pi]$. Общее решение этого уравнения записывается в виде $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим две серии решений:
1) $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
2) $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$.
Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
при $n=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.
при $n=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.
Для второй серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
при $n=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. (при $n=0$ корень $x = -\frac{\pi}{3}$ не входит в отрезок).
при $n=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$.

в) Решим уравнение $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0; 4\pi]$. Общее решение этого уравнения записывается в виде двух серий:
1) $x = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $x = \pi - \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$.
Для первой серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:
при $n=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. (при $n=0$ корень отрицательный).
при $n=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$.
Для второй серии $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$:
при $n=0$, $x = \frac{4\pi}{3}$.
при $n=1$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$.

г) Решим уравнение $cos x = -1$ на отрезке $[0; 4\pi]$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Равенство верно, когда угол $x$ указывает на самую левую точку единичной окружности.
Общее решение имеет вид $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$.
при $n=0$, $x = \pi$.
при $n=1$, $x = \pi + 2\pi = 3\pi$.
При $n=2$ корень $x = \pi + 4\pi = 5\pi$ уже выходит за пределы отрезка, так же как и при отрицательных $n$.
Ответ: $\pi, 3\pi$.