Номер 796, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 796, страница 222.

Условие.

796. Найдите $sin x$, если $sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right) + sin \frac{\pi}{2} = sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данного уравнения $ \sin(x - \frac{\pi}{2}) + \sin\frac{\pi}{2} = \sin(x + \frac{\pi}{2}) $ необходимо использовать формулы приведения и известные значения тригонометрических функций.

Сначала упростим каждое слагаемое в уравнении, используя формулы приведения:$ \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2} - x) = -\cos x $$ \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x $Также нам известно табличное значение:$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:$ -\cos x + 1 = \cos x $

Решим полученное уравнение относительно $ \cos x $. Для этого перенесем все слагаемые с $ \cos x $ в правую часть:$ 1 = \cos x + \cos x $$ 1 = 2\cos x $$ \cos x = \frac{1}{2} $

Зная значение косинуса, мы можем найти значение синуса, используя основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.Выразим из него $ \sin^2 x $:$ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $Подставим найденное значение $ \cos x = \frac{1}{2} $:$ \sin^2 x = 1 - (\frac{1}{2})^2 $$ \sin^2 x = 1 - \frac{1}{4} $$ \sin^2 x = \frac{3}{4} $

Чтобы найти $ \sin x $, извлечем квадратный корень из обеих частей последнего равенства:$ \sin x = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} $$ \sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $