Номер 797, страница 222 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 797, страница 222.

Условие.

797. Докажите тождество:

a)

$\frac{\sin \alpha - \cos \beta}{\sin \beta + \cos \alpha} = \frac{\sin \beta - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \beta}$

б)

$\frac{\sqrt{3} - 2\sin\beta}{2\cos\beta - 1} = \frac{1 + 2\cos\beta}{2\sin\beta + \sqrt{3}}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для доказательства данного тождества воспользуемся свойством пропорции, согласно которому равенство дробей $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ равносильно равенству произведений $ ad = bc $ (при $b \neq 0, d \neq 0$). Применив это свойство к исходному тождеству $ \frac{\sin \alpha - \cos \beta}{\sin \beta + \cos \alpha} = \frac{\sin \beta - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \beta} $, получим:
$ (\sin \alpha - \cos \beta)(\sin \alpha + \cos \beta) = (\sin \beta + \cos \alpha)(\sin \beta - \cos \alpha) $.
В обеих частях этого равенства применим формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $.
Левая часть преобразуется в $ \sin^2 \alpha - \cos^2 \beta $.
Правая часть преобразуется в $ \sin^2 \beta - \cos^2 \alpha $.
Получаем равенство: $ \sin^2 \alpha - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta - \cos^2 \alpha $.
Перегруппируем члены, собрав выражения с $ \alpha $ в левой части, а с $ \beta $ — в правой:
$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \sin^2 \beta + \cos^2 \beta $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем $ 1 = 1 $.
Так как мы пришли к верному равенству, исходное тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $ \frac{\sqrt{3} - 2 \sin \beta}{2 \cos \beta - 1} = \frac{1 + 2 \cos \beta}{2 \sin \beta + \sqrt{3}} $ аналогичным способом, применив свойство пропорции (перекрестное умножение). Получаем следующее равенство:
$ (\sqrt{3} - 2 \sin \beta)(2 \sin \beta + \sqrt{3}) = (2 \cos \beta - 1)(1 + 2 \cos \beta) $.
Перепишем сомножители для удобства применения формулы разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.
Левая часть: $ (\sqrt{3} - 2 \sin \beta)(\sqrt{3} + 2 \sin \beta) = (\sqrt{3})^2 - (2 \sin \beta)^2 = 3 - 4\sin^2\beta $.
Правая часть: $ (2 \cos \beta - 1)(2 \cos \beta + 1) = (2 \cos \beta)^2 - 1^2 = 4\cos^2\beta - 1 $.
Приравняем полученные выражения:
$ 3 - 4\sin^2\beta = 4\cos^2\beta - 1 $.
Перенесем числовые члены влево, а тригонометрические вправо:
$ 3 + 1 = 4\cos^2\beta + 4\sin^2\beta $.
$ 4 = 4(\cos^2\beta + \sin^2\beta) $.
Применив основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $, получаем $ 4 = 4 \cdot 1 $, что является верным равенством $ 4=4 $.
Следовательно, исходное тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.