Номер 800, страница 223 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 800, страница 223.

Условие.

800. Докажите, что если $ \text{tg } \alpha = 3 $, $ \text{tg } \beta = 2 $, $ \alpha $ и $ \beta $ - острые углы, то

$ \alpha + \beta = \frac{3\pi}{4} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства утверждения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов.
Согласно условию, нам даны значения тангенсов двух острых углов: $\tg \alpha = 3$ и $\tg \beta = 2$.
Так как углы $\alpha$ и $\beta$ острые, они находятся в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.

Формула тангенса суммы углов выглядит следующим образом:
$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta}$

Подставим в эту формулу заданные значения:
$\tg(\alpha + \beta) = \frac{3 + 2}{1 - 3 \cdot 2} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1$

Теперь необходимо определить, в какой четверти находится угол $\alpha + \beta$.
Сложим неравенства, определяющие диапазоны для $\alpha$ и $\beta$:
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$
Следовательно, для их суммы справедливо:
$0 + 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$0 < \alpha + \beta < \pi$

Итак, мы ищем угол $\alpha + \beta$, который находится в первой или второй координатной четверти ($0 < \alpha + \beta < \pi$), и тангенс которого равен $-1$.
Тангенс отрицателен во второй четверти. Общее решение уравнения $\tg(x) = -1$ имеет вид $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n$ - целое число.
Из всех решений нам подходит только то, которое лежит в интервале $(0, \pi)$. Этому условию удовлетворяет только значение при $n=0$:
$\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$

Можно также уточнить диапазон для суммы углов. Так как $\tg \alpha = 3 > 1 = \tg(\frac{\pi}{4})$, то $\alpha > \frac{\pi}{4}$. Аналогично, $\tg \beta = 2 > 1 = \tg(\frac{\pi}{4})$, значит $\beta > \frac{\pi}{4}$.
Тогда их сумма $\alpha + \beta > \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, угол $\alpha + \beta$ находится в более узком интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \pi$.
Единственным углом в этом интервале, тангенс которого равен $-1$, является $\frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, равенство $\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$ доказано.

Ответ: Утверждение доказано.