Номер 805, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 805, страница 224.

Условие.

805. Докажите тождество:

a) $2\sin(45^\circ + \alpha) \cdot \sin(45^\circ - \alpha) = \cos 2\alpha;$

б) $\frac{\sin(80^\circ + \alpha)}{4\sin(20^\circ + \frac{\alpha}{4})\sin(70^\circ - \frac{\alpha}{4})} = \cos(40^\circ + \frac{\alpha}{2});$

в) $\frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2};$

г) $\frac{\operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) - 1}{\operatorname{tg}^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) + 1} = \sin 2\alpha.$

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Преобразуем левую часть тождества, используя формулу произведения синусов: $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.

В нашем случае $A = 45^\circ + \alpha$ и $B = 45^\circ - \alpha$.

Находим разность и сумму углов $A$ и $B$:

$A-B = (45^\circ + \alpha) - (45^\circ - \alpha) = 45^\circ + \alpha - 45^\circ + \alpha = 2\alpha$.

$A+B = (45^\circ + \alpha) + (45^\circ - \alpha) = 45^\circ + \alpha + 45^\circ - \alpha = 90^\circ$.

Подставляем полученные значения в формулу произведения синусов:

$2\sin(45^\circ + \alpha) \sin(45^\circ - \alpha) = \cos(2\alpha) - \cos(90^\circ)$.

Так как значение косинуса $90^\circ$ равно нулю ($\cos(90^\circ) = 0$), получаем:

$\cos(2\alpha) - 0 = \cos(2\alpha)$.

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Сначала преобразуем знаменатель левой части, используя формулу произведения синусов $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.

$4\sin(20^\circ + \frac{\alpha}{4})\sin(70^\circ - \frac{\alpha}{4}) = 2 \cdot [2\sin(70^\circ - \frac{\alpha}{4})\sin(20^\circ + \frac{\alpha}{4})]$.

Пусть $A = 70^\circ - \frac{\alpha}{4}$ и $B = 20^\circ + \frac{\alpha}{4}$.

$A-B = (70^\circ - \frac{\alpha}{4}) - (20^\circ + \frac{\alpha}{4}) = 50^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

$A+B = (70^\circ - \frac{\alpha}{4}) + (20^\circ + \frac{\alpha}{4}) = 90^\circ$.

Знаменатель становится равен: $2[\cos(50^\circ - \frac{\alpha}{2}) - \cos(90^\circ)] = 2\cos(50^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Теперь преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

$\sin(80^\circ + \alpha) = \sin(2(40^\circ + \frac{\alpha}{2})) = 2\sin(40^\circ + \frac{\alpha}{2})\cos(40^\circ + \frac{\alpha}{2})$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{2\sin(40^\circ + \frac{\alpha}{2})\cos(40^\circ + \frac{\alpha}{2})}{2\cos(50^\circ - \frac{\alpha}{2})} = \frac{\sin(40^\circ + \frac{\alpha}{2})\cos(40^\circ + \frac{\alpha}{2})}{\cos(50^\circ - \frac{\alpha}{2})}$.

Используем формулу приведения $\cos x = \sin(90^\circ - x)$ для знаменателя:

$\cos(50^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \sin(90^\circ - (50^\circ - \frac{\alpha}{2})) = \sin(90^\circ - 50^\circ + \frac{\alpha}{2}) = \sin(40^\circ + \frac{\alpha}{2})$.

После подстановки выражение принимает вид:

$\frac{\sin(40^\circ + \frac{\alpha}{2})\cos(40^\circ + \frac{\alpha}{2})}{\sin(40^\circ + \frac{\alpha}{2})} = \cos(40^\circ + \frac{\alpha}{2})$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть тождества, применив формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \frac{2\sin \alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}$.

Вынесем общий множитель $2\sin\alpha$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\sin\alpha(1 - \cos\alpha)}{2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}$.

Сократим дробь на $2\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}$.

Воспользуемся формулами половинного угла: $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tan^2\frac{\alpha}{2}$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Введем замену $y = \frac{\pi}{4} + \alpha$. Выражение примет вид:

$\frac{\tan^2 y - 1}{\tan^2 y + 1}$.

Вынесем $-1$ за скобки в числителе, чтобы получить известную формулу:

$-\frac{1 - \tan^2 y}{1 + \tan^2 y}$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс: $\cos(2y) = \frac{1 - \tan^2 y}{1 + \tan^2 y}$.

Таким образом, левая часть тождества равна $-\cos(2y)$.

Сделаем обратную подстановку $y = \frac{\pi}{4} + \alpha$:

$-\cos(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = -\cos(\frac{2\pi}{4} + 2\alpha) = -\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)$.

Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$. В нашем случае $x=2\alpha$.

$-\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = -(-\sin(2\alpha)) = \sin(2\alpha)$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.