Номер 812, страница 224 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 812, страница 224.

Условие.

812. Докажите, что верно равенство:

a) $ \cos^2 5 + \cos^2 1 - \cos 6 \cdot \cos 4 = 1 $

б) $ \cos^2 3 - \cos^2 2 + \sin 5 \sin 1 = 0 $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Докажем истинность равенства $ \cos^2 5 + \cos^2 1 - \cos 6 \cdot \cos 4 = 1 $. Для этого преобразуем его левую часть, используя тригонометрические тождества.

Воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $ и формулой преобразования произведения косинусов в сумму $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

Преобразуем слагаемые в левой части равенства:

$ \cos^2 5 = \frac{1 + \cos(2 \cdot 5)}{2} = \frac{1 + \cos 10}{2} $

$ \cos^2 1 = \frac{1 + \cos(2 \cdot 1)}{2} = \frac{1 + \cos 2}{2} $

$ \cos 6 \cdot \cos 4 = \frac{1}{2}(\cos(6 - 4) + \cos(6 + 4)) = \frac{1}{2}(\cos 2 + \cos 10) $

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и выполним упрощение:

$ \cos^2 5 + \cos^2 1 - \cos 6 \cos 4 = \frac{1 + \cos 10}{2} + \frac{1 + \cos 2}{2} - \frac{\cos 2 + \cos 10}{2} $

$ = \frac{1 + \cos 10 + 1 + \cos 2 - (\cos 2 + \cos 10)}{2} = \frac{2 + \cos 10 + \cos 2 - \cos 2 - \cos 10}{2} $

$ = \frac{2}{2} = 1 $

Поскольку левая часть равна 1, что совпадает с правой частью, равенство верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем истинность равенства $ \cos^2 3 - \cos^2 2 + \sin 5 \sin 1 = 0 $. Преобразуем левую часть выражения.

Для разности квадратов косинусов используем формулу понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $:

$ \cos^2 3 - \cos^2 2 = \left(\frac{1 + \cos(2 \cdot 3)}{2}\right) - \left(\frac{1 + \cos(2 \cdot 2)}{2}\right) = \frac{1 + \cos 6}{2} - \frac{1 + \cos 4}{2} = \frac{1 + \cos 6 - 1 - \cos 4}{2} = \frac{\cos 6 - \cos 4}{2} $

Для произведения синусов используем формулу преобразования в сумму $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $:

$ \sin 5 \sin 1 = \frac{1}{2}(\cos(5-1) - \cos(5+1)) = \frac{1}{2}(\cos 4 - \cos 6) = \frac{\cos 4 - \cos 6}{2} $

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$ (\cos^2 3 - \cos^2 2) + \sin 5 \sin 1 = \frac{\cos 6 - \cos 4}{2} + \frac{\cos 4 - \cos 6}{2} $

$ = \frac{\cos 6 - \cos 4 + \cos 4 - \cos 6}{2} = \frac{0}{2} = 0 $

Левая часть равна 0, что совпадает с правой частью. Равенство доказано. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.