Номер 813, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 813, страница 225.

Условие.

813. Что больше: $(\sin 165^\circ - \sin 75^\circ) \cdot \cos 15^\circ$ или $(\cos 15^\circ - \cos 75^\circ) \times \sin 165^\circ$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы определить, какое из двух выражений больше, мы их упростим и сравним. Обозначим первое выражение как $A$, а второе как $B$.

$A = (\sin 165^\circ - \sin 75^\circ) \cdot \cos 15^\circ$

$B = (\cos 15^\circ - \cos 75^\circ) \cdot \sin 165^\circ$

Для упрощения выражений воспользуемся формулами приведения, чтобы привести все аргументы тригонометрических функций к одному углу, например, $15^\circ$.

$\sin 165^\circ = \sin(180^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$

$\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ$

$\cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$

Теперь подставим эти значения в исходные выражения:

Упрощение первого выражения:

$A = (\sin 15^\circ - \cos 15^\circ) \cdot \cos 15^\circ = \sin 15^\circ \cos 15^\circ - \cos^2 15^\circ$

Упрощение второго выражения:

$B = (\cos 15^\circ - \sin 15^\circ) \cdot \sin 15^\circ = \cos 15^\circ \sin 15^\circ - \sin^2 15^\circ$

Сравнение полученных выражений:

Нам нужно сравнить $A = \sin 15^\circ \cos 15^\circ - \cos^2 15^\circ$ и $B = \sin 15^\circ \cos 15^\circ - \sin^2 15^\circ$.

Так как слагаемое $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$ присутствует в обоих выражениях, для сравнения достаточно сравнить слагаемые $-\cos^2 15^\circ$ и $-\sin^2 15^\circ$.

Сравним сначала значения $\cos 15^\circ$ и $\sin 15^\circ$. Угол $15^\circ$ находится в первой четверти ($0^\circ < 15^\circ < 90^\circ$), где синус и косинус положительны. На интервале $(0^\circ, 45^\circ)$ график косинуса лежит выше графика синуса, поэтому:

$\cos 15^\circ > \sin 15^\circ$

Возведем обе части неравенства в квадрат. Так как обе части положительны, знак неравенства сохранится:

$\cos^2 15^\circ > \sin^2 15^\circ$

Теперь умножим обе части на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\cos^2 15^\circ < -\sin^2 15^\circ$

Наконец, добавим к обеим частям неравенства общее слагаемое $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$:

$\sin 15^\circ \cos 15^\circ - \cos^2 15^\circ < \sin 15^\circ \cos 15^\circ - \sin^2 15^\circ$

Таким образом, мы получили, что $A < B$. Это означает, что второе выражение больше первого.

Ответ: $(\cos 15^\circ - \cos 75^\circ) \cdot \sin 165^\circ$ больше, чем $(\sin 165^\circ - \sin 75^\circ) \cdot \cos 15^\circ$.