Номер 818, страница 225 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Упражнения на повторение раздела «Тригонометрия». IV. Тригонометрия - номер 818, страница 225.

Условие.

818. Дано: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2}$, $\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{5}$, $\operatorname{tg} \gamma = \frac{1}{8}$. Верно ли, что $\alpha + \beta + \gamma = 45^\circ$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы проверить, верно ли равенство $ \alpha + \beta + \gamma = 45^\circ $, мы можем вычислить тангенс от суммы углов $ \alpha + \beta + \gamma $ и сравнить его с тангенсом $ 45^\circ $. Известно, что $ \tg(45^\circ) = 1 $.

Для вычисления тангенса суммы углов воспользуемся формулой тангенса суммы:$ \tg(A + B) = \frac{\tg A + \tg B}{1 - \tg A \tg B} $.

Сначала найдем тангенс суммы двух углов, $ \alpha $ и $ \beta $. Подставим данные из условия: $ \tg \alpha = \frac{1}{2} $ и $ \tg \beta = \frac{1}{5} $.

$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{5+2}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9} $.

Теперь найдем тангенс суммы $ (\alpha + \beta) $ и $ \gamma $. Мы уже вычислили, что $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{7}{9} $, а из условия известно, что $ \tg \gamma = \frac{1}{8} $.

Применим формулу тангенса суммы еще раз:$ \tg((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tg(\alpha + \beta) + \tg \gamma}{1 - \tg(\alpha + \beta) \cdot \tg \gamma} $.

Подставим известные значения:$ \tg(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\frac{7}{9} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{8}} = \frac{\frac{7 \cdot 8 + 1 \cdot 9}{9 \cdot 8}}{1 - \frac{7}{72}} = \frac{\frac{56+9}{72}}{\frac{72-7}{72}} = \frac{\frac{65}{72}}{\frac{65}{72}} = 1 $.

Мы получили, что $ \tg(\alpha + \beta + \gamma) = 1 $. Это означает, что сумма углов $ \alpha + \beta + \gamma $ может быть равна $ 45^\circ + n \cdot 180^\circ $, где $ n $ — любое целое число.

Чтобы определить точное значение суммы, проанализируем углы. Поскольку значения тангенсов $ \tg \alpha = \frac{1}{2} $, $ \tg \beta = \frac{1}{5} $ и $ \tg \gamma = \frac{1}{8} $ положительны и меньше 1 (так как $ \tg(45^\circ)=1 $), то каждый из углов $ \alpha, \beta, \gamma $ является острым и находится в интервале от $ 0^\circ $ до $ 45^\circ $.

Следовательно, их сумма $ \alpha + \beta + \gamma $ должна лежать в интервале $ 0^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 45^\circ + 45^\circ + 45^\circ $, то есть $ 0^\circ < \alpha + \beta + \gamma < 135^\circ $.

Единственное значение из множества решений $ 45^\circ + n \cdot 180^\circ $, которое попадает в интервал $ (0^\circ, 135^\circ) $, — это $ 45^\circ $ (при $ n=0 $).Таким образом, утверждение, что $ \alpha + \beta + \gamma = 45^\circ $, является верным.

Ответ: Да, верно.